Area trapezio rettangolo?

$\overline{BC} \cong \overline{BE}= y$

$\overline{AE} \cong \overline{AD} = x$

$\overline{CF}=8$

$\overline{FD}=18$

Iniziamo a risolvere il problema notando che $EFC$ e $EBC$ sono triangoli rettangoli con l'ipotenusa $\overline{EC}$ in comune. Per il teorema di Pitagora allora:

$2y^2 = \overline{EC}^2 = 8^2 + \overline{EF}^2$ 

Da cui

$\overline{EF}^2 = 2y^2-8^2$

Ora sfruttiamo il fatto che $DEF$ e $AED$ sono triangoli rettangoli con l'ipotenusa in comune $\overline{ED}$.

$\overline{EF}^2 + 18^2 = 2x^2$

$2y^2-8^2+18^2=2x^2$

$x^2-y^2=130$.

Tracciamo la parallela a $\overline{AB}$ passante per $C$, che interseca $\overline{AD}$ in $G$. Dal momento che, per costruzione, $\overline{CG} \parallel \overline{AB}$ e $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$, è chiaro che $ABCG$ è un rettangolo, dunque $\overline{CG} \cong \overline{AB}= x+y$, $\overline{AG} \cong \overline{BC} = y$. $\overline{AG}$ e $\overline{GD}$ sono segmenti consecutivi e allineati, quindi $\overline{GD} = x-y$. Per il teorema di Pitagora:

$\overline{CG}^2 + \overline{GD}^2 = 26^2$

$(x+y)^2+(x-y)^2=26^2$

$x^2+y^2=338$.

Risolviamo il sistema:

$\begin{cases} x^2-y^2=130 \\ x^2+y^2=338 \end{cases}$

Sommando la prima e la seconda ottengo che $2x^2 =468 \implies x=3\sqrt{26}$. Sostituendo $x$ nella prima ottengo che $y=2\sqrt{26}$.

Applichiamo la formula dell'area di un trapezio, sapendo che l'altezza coincide con il lato compreso tra i due angoli retti:

$\mathcal{A}=\dfrac{(B+b)h}{2}=\dfrac{(x+y)(x+y)}{2}=\dfrac{1}{2}(3\sqrt{26}+2\sqrt{26})^2=\dfrac{1}{2}\cdot 25 \cdot 26 = 325$.

Il problema poteva essere risolto notando anche che i quadrilateri $BCFE$ e $ADFE$ sono simili.