Sia γ una circonferenza il cui raggio misura 5. Internamente a γ costruisci:
a. una circonferenza γ', concentrica a γ;
b. una circonferenza γ", tangente a γ e γ'.
Determina il raggio di γ' in modo che la somma delle aree dei due cerchi limitati da γ' e γ" sia minima.
Ho fatto un disegno, però non mi viene in mente cosa fare per risolvere l'esercizio
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Livello 1
@apprentus il disegno e’ sbagliato
@Cenerentola non capisco perchè dici che il disegno è sbagliato. La circonferenza verde è γ, quella azzurra è γ' che è concentrica a γ e quella fuxia γ" che è tangente sia a γ che a γ'.
@apprentus scusa hai ragione… frettolosamente ho commentato pensando al fatto che fosse corretto solo il mio disegno in realtà vanno bene entrambi per come è formulato il quesito
@Cenerentola non avevo pensato al tuo disegno, provo a ragionare con il tuo disegno e vedo che cosa ne esce fuori, grazie
Con riferimento alla figura allegata, la somma delle aree è funzione di x:
f(x)=pi·(x^2 + ((x + 5)/2)^2) = 5·pi·(x^2 + 2·x + 5)/4
per 0<x<5 il minimo si ha in corrispondenza del minimo della parabola:
p(x)=x^2 + 2·x + 5 soggetta al vincolo 0<x<5 quindi per x=0 ???
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Genius II
@lucianop si infatti ho ragionato esattamente come hai mostrato tu e così facendo mi è uscito che il raggio viene -1, però il risultato dice che deve fare 1. Inoltre il raggio non può essere negativo
Se diciamo r' = x, allora d'' = R + x per cui R'' = (R + x)/2
S = pi x^2 + pi (R + x)^2/4 =
= pi/4 * [ 4x^2 + x^2 + 2Rx + R^2 ] =
= pi/4 [ 5x^2 + 2 Rx + R^2 ] = min
e x* = - b/(2a) = - 2R/10 = - R/5
Tenendo conto che deve essere x >= 0, x* = 0
S* = 25/4 pi
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Livello 7
