Area del rettangolo rosso?

(Ruotare $\alpha$ per variare l'angolo)

La retta che interseca la semicirconferenza ha equazione $y=\tan(\alpha)x$ (con $\widehat{BCA}=\alpha$), mentre la semicirconferenza ha equazione $(x-r)^2+\sqrt{y}^4=r^2 \implies y^2 = r^2-(x-r)^2=-x^2+2xr$. Troviamo le intersezioni tra queste due curve:

$\begin{cases} y=\tan(\alpha)x \\ y^2 = -x^2+2xr \end{cases}$

$\begin{cases} y^2 = \tan^2(\alpha)x^2 \\ y^2 = -x^2+2xr \end{cases}$

Con il metodo del confronto:

$\tan^2(\alpha)x^2=-x^2+2xr$

$x^2(\tan^2(\alpha)+1)-2xr=0$

$x(x\sec^2(\alpha)-2r)=0$

$x=0 \implies y=\tan(\alpha)x=0$

L'intersezione banale è in $C (0,0)$, l'altra si ottiene risolvendo $x\sec^2(\alpha)-2r=0 \implies x= \dfrac{2r}{\sec^2(\alpha)}$. Da cui $y= \tan(\alpha) x  \implies y=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cos^2(\alpha)2r=r\sin(2\alpha)$. La seconda intersezione è $A \left(\frac{2r}{\sec^{2}\left(\alpha\right)},r\sin\left(2\alpha\right)\right)$.

Usando la formula della distanza tra due punti poniamo $\overline{AC}^2=2^2$:

$(2r\sin(\alpha)\cos(\alpha))^2+(2r\cos^2(\alpha))^2=4$

$4r^2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)+4r^2\cos^4(\alpha)=4$

$r^2\cos^2(\alpha)(\sin^2 (\alpha)+\cos^2 (\alpha))=1$

$r=\sec(\alpha)$

Calcoliamo l'area del rettangolo come $\mathcal{A}=\overline{BC} \cdot r$:

$\mathcal{A}=\dfrac{2r}{\sec^2(\alpha)} \cdot r$

Sapendo che $r=\sec(\alpha)$, sostituiamo:

$\mathcal{A}=\sec(\alpha) \dfrac{2\sec(\alpha)}{\sec^2(\alpha)}=2$.