Area con gli integrali

1. Impostare l'integrale definito:
L'area sotto la curva di una funzione (f(x)) tra due punti (a) e (b) è data dall'integrale definito:
\int_a^b f(x) \, dx
Nel nostro caso, la funzione è (y = x^3 - 4x^2 + 4x + 1), e gli intervalli sono (x = 1) e (x = 3). Quindi, l'integrale diventa:
\int_1^3 (x^3 - 4x^2 + 4x + 1) \, dx
2. Calcolare l'integrale indefinito:
Troviamo una primitiva della funzione integranda:
\int (x^3 - 4x^2 + 4x + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C
dove (C) è la costante di integrazione.
3. Applicare il teorema fondamentale del calcolo:
Il teorema fondamentale del calcolo afferma che l'integrale definito di una funzione tra due punti è uguale alla differenza dei valori della sua primitiva in quei punti:
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
dove (F(x)) è una primitiva di (f(x)).
Nel nostro caso, abbiamo:
F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x
e dobbiamo calcolare (F(3) - F(1)):
F(3) = \frac{3^4}{4} - \frac{4 \cdot 3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 3 = \frac{81}{4} - 36 + 18 + 3 = \frac{81}{4} - 15 = \frac{81 - 60}{4} = \frac{21}{4}
F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{4 \cdot 1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 2 + 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 3 = \frac{3 - 16 + 36}{12} = \frac{23}{12}
Quindi, l'area è:
F(3) - F(1) = \frac{21}{4} - \frac{23}{12} = \frac{63 - 23}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}
Risultato:
L'area della regione finita di piano è di (\frac{10}{3}) unità quadrate.