Considera la funzione $y=\sin ^2 x+\cos x \cdot \sin x$.
a. Determina il suo periodo $T$.
b. Tracciane il grafico nell'intervallo $[0, T]$.
c. Calcola l'area della regione di piano limitata dal grafico della funzione e dall'asse $x . \quad\left[\right.$ a. $T=\pi ;$ c. $\left.\frac{\pi}{4}+1\right]$
Spiegare gentilmente i passaggi e il ragionamento.
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punti
Livello 2
Sino al punto b)
y = SIN(x)^2 + COS(x)·SIN(x)
che modifichiamo tenendo presente che:
SIN(x)^2 = (1 - COS(2·x))/2
COS(x)·SIN(x) = SIN(2·x)/2
y = (1 - COS(2·x))/2 + SIN(2·x)/2
y = - COS(2·x)/2 + SIN(2·x)/2 + 1/2
Quindi si tratta di una sinusoide traslata verticalmente in alto di una quantità pari ad 1/2.
Infatti poniamo:
2·x = α e quindi possiamo scrivere:
y = 1/2 + (SIN(α)/2 - COS(α)/2)
con il metodo dell'angolo aggiunto studiamo la quantità tra parentesi:
SIN(α)/2 - COS(α)/2 = Α·SIN(α - φ)
Α·SIN(α - φ) = Α·(SIN(α)·COS(φ) - SIN(φ)·COS(α))
quindi:
{Α·COS(φ) = 1/2
{Α·SIN(φ) = 1/2
da cui:
TAN(φ) = 1----> φ = pi/4
{Α·COS(pi/4) = 1/2----> Α = √2/2
{Α·SIN(pi/4) = 1/2----> Α = √2/2
Quindi la funzione data equivale a scrivere:
y = 1/2 + √2/2·SIN(2·x - pi/4)
Periodo T pari a:
ω = 2·pi/Τ con ω =2: 2 = 2·pi/Τ---> Τ = pi
Il grafico è:
la parte interessata è: 0 ≤ x ≤ pi
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Genius III
