Il testo è il seguente:
"Il raggio di una sfera cresce uniformemente con la velocità di 5 cm/s. Con quali velocità crescono la superficie e il volume della sfera nel momento in cui il raggio è uguale a 50 cm?"
Ho tentato di trovare la derivata della superficie della sfera come dr/dt, dove r è il raggio e t il tempo (stesso approccio che ho provato anche con il volume), ma non ne riesco a cavare niente.
Qualcuno ha un'idea? Grazie mille 🙂
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Livello 1
Usando le funzioni composte
dV/dt = dV/dr * dr/dt = d/dr (4/3 pi r^3) * dr/dt = 4 pi R^2 dr/dt
dS/dt = dS/dr * dr/dt = d/dr (4 pi r^2) * dr/dt = 8 pi R dr/dt
R é il valore assegnato di r.
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Livello 6
@eidosm visto ora, grazie mille
Io un'idea ce l'ho e quasi mi vergogno a dirla per quant'è banale, ma tu l'hai chiesta esplicitamente: per calcolare il risultato richiesto non devi derivare rispetto al tempo il raggio, ma l'area e il volume.
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"Il raggio ... 5 cm/s." ≡ dr/dt = 5 cm/s = 1/20 m/s → r(t) = t/20 m
da cui
* S(t) = 4*π*r^2(t) → dS/dt = (1/20)*(d/dr 4*π*r^2) = (2/5)*π*r m^2/s
* V(t) = (4/3)*π*r^3(t) → dV/dt = (1/20)*(d/dr (4/3)*π*r^3) = π*r^2/5 m^3/s
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"nel momento in cui il raggio è uguale a 50 cm" (= 1/2 m) si ha
* dS/dt = (2/5)*π*(1/2) = π/5 ~= 0.6283 m^2/s
* dV/dt = π*(1/2)^2/5 = π/20 ~= 0.15707963 m^3/s
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Genius I
