[Risolto] Applicazioni al calcolo di aree e volumi con gli integrali.

• Dominio

$ \frac{2-x}{x+2} \ge 0 \; ⇒ \; \forall x \in {(-\infty, -2) ∪ [2, +\infty)} $

Dominio = $(-\infty, -2) ∪ [2, +\infty) $

• • C'è un punto di discontinuità per x = 2

• Asintoti verticali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = +\infty $
  • C'è un asintoto verticale destro di equazione x = -2

• Grafico.

https://www.desmos.com/calculator/pjugs3un49

• Area A

L' area A della superficie ombreggiata è data dall'integrale improprio

$ A = \int_{-2}^2 f(x) \, dx $

Usiamo la definizione di integrale improprio

$ A = \displaystyle\lim_{a \to -2^+} \int_a^2 f(x) \, dx $

$ A = \displaystyle\lim_{a \to -2^+} \left. \sqrt{(2-x)} \sqrt{(x+2)} - 4arctan (\sqrt{\frac{2-x}{x+2}})  \right|_a^2 $

$ A = 0 - 0 -0 + 4arctan (\sqrt{\frac{4}{o^+}}) = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$

Il risultato dell'integrale è stato preso da Wolfram-alfa.

• Volume V

$ V = \pi \int_{-2}^2 [f(x)]^2 \, dx $

Applichiamo la definizione di integrale improprio

$ V = \pi \displaystyle\lim_{a \to -2^+} \int_a^2 f^2(x) \, dx $

$ V = \pi \displaystyle\lim_{a \to -2^+} \int_a^2 \frac {2-x}{x+2} \, dx $

$ V = \pi \displaystyle\lim_{a \to -2^+} \int_a^2 -\frac {x-2}{x+2} \, dx $

$ V = \pi \displaystyle\lim_{a \to -2^+} \int_a^2 -\frac {x+2}{x+2} + 4\frac{1}{x+2} \, dx $

$ V = \pi \displaystyle\lim_{a \to -2^+} \int_a^2 -1 \, dx + 4 \int_a^2 \frac{1}{x+2} \, dx $

quest'ultimo è un integrale divergente.