Fissato $f:=x^4+x^3+x^2+x+1 \in \mathbb{Z}_2[x]$, sia $A:=\mathbb{Z}_2[x] /(f)$. Determinare in $A$ un elemento di periodo moltiplicativo 4, se esiste, o in caso contrario spiegare perchè non esiste.
Sugg.: quali sono i polinomi irriducibili di grado 2 in $\mathbb{Z}_2[x]$ ? Saperlo ci aiuta?
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Livello 1
Nota subito che l'unico polinomio di grado 2 irriducibile in $\textbf{Z}_2$ è $p(x)=x^2+x+1$.
Vediamo se $f$ è riducibile o meno.
$f$ non ha radici in $\textbf{Z}_2$, infatti $f(0) = 1$ e $f(1) =1$. Questo significa che se fosse riducibile, non potrebbe comunque spezzarsi in un polinomio di grado 3 e uno di grado 1.
L'unica possibilità è che si spezzi dunque in due polinomi irriducibili di grado 2.
Ma l'unico polinomio irriducibile è appunto $x^2+x+1$.
Puoi verificare facilmente che però $f$ non è divisibile per $p$ (se fai la divisione, ottieni resto $R(x)=x+1$) e dunque $f$ è irriducibile.
Questo vuol dire che $A=\textbf{Z}_2[x]/(f)$ è un campo.
Ora, se ci fosse un elemento in $A$ di periodo 4 (chiamiamolo $q$), vorrebbe dire che:
$ [q(x)]^4 = f(x)$
Ma dunque $f(x)$ sarebbe riducibile e questo è impossibile.
Dunque non possono esserci elementi di periodo 4.
Noemi
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Livello 5
