[Risolto] Analisi

Seguiamo il suggerimento e vediamo cosa succede calcolando f(m)f(m+1).

Notiamo che:

$f(m)=m^2+bm+c$

inoltre

$f(m+1)= (m+1)^2 +b(m+1)+c$

Vediamo se possiamo scrivere f(m+1) in funzione di f(m). Facendo i calcoli:

$f(m+1)= m^2+2m+1 +bm+b +c = (m^2+bm +c) + (2m+1+b)$

ho volutamente raccolto i termini in questo modo perché possiamo notare che otteniamo:

$f(m+1) = f(m) + 2m+1+b$

 

Facciamo ora il prodotto come suggerito, sfruttando quanto trovato:

$f(m)f(m+1) = f(m)[f(m)+2m+1+b] = f^2(m) +2m f(m) +f(m)+ b f(m)$

Il risultato somiglia ad un'equazione di secondo grado, ma possiamo fare di meglio. Notiamo che i primi due termini sembrano lo sviluppo di un quadrato di binomio incompleto. Completiamolo sommando e sottraendo il quadrato mancante, cioé m^2:

$f(m)f(m+1) = f^2(m) +2m f(m) +m^2 -m^2 + f(m) + bf(m)$

Raccogliamo i primi tre termini a formare un quadrato di binomio:

$f(m)f(m+1) = [f(m)+m]^2 - m^2 + f(m) + bf(m)$

Il mio obiettivo è ricondurmi ad un qualcosa del tipo f(x)=x^2+bx+c, ma mi manca il termine "c".

Notiamo però che essendo $f(m)=m^2+bm+c$, possiamo dire che $m^2 = f(m)-bm-c$ e dunque sostituendo questa espressione otteniamo:

$f(m)f(m+1) = [f(m)+m]^2 - [f(m)-bm-c]+ f(m) + bf(m)$

svolgendo i calcoli si semplifica il termine f(m). Metto inoltre in evidenza la b:

$f(m)f(m+1) = [f(m)+m]^2 +b[f(m)+m] +c$

Questo è un bel traguardo, perché possiamo notare che l'espressione ottenuta non è altro che:

$f(m)f(m+1) = f[f(m)+m]$

Sfruttiamo questo risultato per la dimostrazione.

Cominciamo col vedere cosa succede per N=2.

Sia $x_1 \in Z$. Notiamo prima di tutto che essendo $b,c \in Z$ anche $f(x_1) \in Z$ e $f(x_1) + x_1 \in Z$ essendo somma di due numeri interi.

Allora per quanto detto:

$f(x_1) f(x_1 + 1) = f[f(x_1) + x_1]$

che è l'espressione di prima con $m=x_1$.

Ponendo $x_1+1 = x_2$ e $f(x_1)+x_1 = x_3$ riscriviamo la precedente come:

$f(x_1) f(x_2) = f(x_3)$

Dunque per N=2, esistono $x_1, x_2, x_3 \in Z$ tali che $f(x_3) = f(x_1)f(x_2)$.

Procediamo per induzione. Supponiamo che la tesi sia verificata per N=k-1, dimostriamo per N=k.

Per ipotesi induttiva abbiamo che se N=k-1 , allora possiamo trovare $x_1, x_2 ,..., x_k$ tali che:

$f(x_k) = \prod_{i=1}^{k-1} f(x_i)$

Moltiplichiamo ambo i membri per $f(x_k+1)$ che è ancora un intero:

$f(x_k)f(x_k+1) =  [\prod_{i=1}^{k-1} f(x_i)]*f(x_k+1)$

Ma il primo membro si può riscrivere come:

$ f[f(x_k)+x_k]=[\prod_{i=1}^{k-1} f(x_i)]*f(x_k+1)$

Dunque posto $x_{k+1} = f(x_k) +x_k$ possiamo scrivere:

$ f(x_{k+1})= [\prod_{i=1}^{k-1} f(x_i)]*f(x_k+1)$

dunque abbiamo scritto anche $f(x_{k+1})$ come prodotto di k valori $f(x_i)$ di cui i primi (k-1) sono quelli usati nel passo induttivo e l'ultimo è $f(x_k+1)$, per cui possiamo riscrivere come:

$ f(x_{k+1})= [\prod_{i=1}^{k} f(x_i)]$

 

Bella sfida, grazie per la domanda!!

Noemi