[Risolto] ANALISI 1 SUCCESSIONI NUMERICHE

Per capire, consideriamo la successione definita da a_n =   (n + 3)/(n^2 - n) 

ovviamente per n >= 2. 

Risulta   a2 = 5/(4 - 2) = 5/2 = 2.5 

e lim_n->oo    a_n = n(1 + 3/n)/[n(n-1)] = lim_n->oo  1/(n-1) = 0.

 

Sostituiamo n con x reale e determiniamo crescenza e decrescenza di 

a(x) = (x + 3)/(x^2 - x)    in [2, +oo[

a'(x) = [ 1*(x^2 - x) - (x+3)*(2x - 1) ]/(x^2 - x)^2 = 

= (x^2 - x - 2x^2 + x - 6x + 3)/(x^2 - x)^2 = 

= (-x^2 - 6x + 3)/(x^2 - x)^2 

gli intervalli di crescenza corrispondono a 

 

x^2 + 6x - 3 <= 0 

da intersecare con [2; +oo[ 

 

x1,2 = [-3 +- sqrt (9+3) ] = -3 - 2 rad(3) e - 3 + 2 rad(3) 

il primo é negativo e l'altro é 0.464.

Dunque, da 2 in avanti la funzione associata é SEMPRE DECRESCENTE.

Ciò comporta che il massimo della successione é a2 = 5/2 

il minimo non esiste, ma l'estremo inferiore é lim_n-> oo  a(n) = 0.

 

Nota. Se il massimo, o il minimo assoluto, viene raggiunto per un x non intero, allora 

occorrerà valutare la successione nei due punti consecutivi di indice intero tra cui x é

compreso e scegliere il maggiore [ il minore ]

 

Spero che basti.