Il circuito in figura si trova inizialmente in condizioni di regime con l'interruttore I chiuso. Calcolare l'energia immagazzinata nel condensatore e nell'induttore. All'istante $t_{0}$ l'interruttore viene aperto. Calcolare la corrente che circola in $R_{3}$ in funzione del tempo. $\left(f=30 V , R_{l}=R_{2}=3 k \Omega\right.$, $\left.R_{3}=R_{4}=7 k \Omega, C=350 nF , L=13 mH \right)$
Come calcolo la resistenza R3?
99
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Livello 0
interruttore chiuso a regime
Rt = R1+R2//R3 = 3+21/10 = 5,1k
I = V/Rt = 30/5,1 = 5,882 mA
ΔV1 = R1*I = 3*5,882 = 17,646 V
Vc = V-ΔV1 = 30-17,646 = 12,354 V
I3 = Il = 12,354/7 = 1,765 mA
El = L/2*I^2 = 6,5*10^-3*1,765^2*10^-6 = 20,24 njoule
Ec = C/2*Vc^2 = 0,175*10*6*12,354^2 = 26,70 μjoule
aprendo l'interruttore
Corrente iniziale Io = I3 = 1,765 mA
resistenza R = R3+R4 = 14k
costante di tempo Ƭ = 2L/R = 26*10^-3/(14*10^3) = 13/7*10^-6 sec
I(t) = Io*e^-t/Ƭ (oscillazione smorzata )
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Genius II
a regime prima di to
Vc = V =f(R2//R3)/(R1+ R2//R3) = f (R2*R3 / (R2*R3)) /(R1 + R2*R3 / (R2*R3) ) = 210/17 =12.35294... = ~12.35 V
I3 = IL = V/R3 = (210/17)/7000=3/1700 = 0.0017647...= ~ 1.8 mA
e quindi le energie immagazzinate nei campi:
Ec = C*Vc²/2 = 350*10^-9* 12.35294^2/2 = 0.0000267... J
EL = L*I3²/2 = 13*10^-3*0.0017647^2/2 = 2.0242...× 10^-8 J
ricontrolla i conti.
dopodichè la i3(t) è regolata dal circuito del secondo ordine rlc con le condizioni iniziali vc(0) = V e i3(0) = I3
rimandando per la teoria ai testi opportuni (ad es. wikipedia)
https://it.wikipedia.org/wiki/Circuito_RLC
wo = 1/sqrt(LC) = 1 /sqrt(13*10^-3*350*10^-9) = 14824.986... =~ 14.825 kHz
alfa = 1/(2RC) = 1/(2(7000+7000)350*10^-9) = 102.0408... = ~ 102.041 1/s
ricontrolla i conti...
alfa< wo ---> soluz.complesse e coniugate ---> modo pseudoperiodico {o oscill.smorzato}
beta = sqrt(wo²- alfa²) = sqrt(14825^2 - 102.041^2) = 14824.6488... =~ 14825 1/s
i3(t) = (A1*cos(beta*t) + A2*sen(beta*t) ) e^(-alfa*t)
I3 = i3(0) = A1*cos0° = A1
V = R3*I3 implica vL(0+)= L*di3/dt]o+ =0
---> di3/dt]o+ = d/dt((A1cos(beta* t) + A2 sin(beta* t)) e^(-alfat))]o+ = e^(-t *alfa) (cos(beta*t ) (A2*beta- A1* alfa) - sin(beta*t) (A1*beta + A2*alfa))]o+ = 1(A2*beta- A1* alfa) = 0
A2 = A1*alfa/beta =~0.0017647* 102.041/14825 = 12.14649...*10^-6=~12.1*10^-6 A
ricontrolla tutto
...chiedi:
Come calcolo la resistenza R3?
ma R3 = R4 = 7000 ohm è data!
5664
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Livello 5
