[Risolto] altri esponenziali URGENTE 🙁

Es. 323. Questo è più difficile.

per prima cosa devi spezzare il valore assoluto quindi il problema ti si duplica.

Studiamo quando $16^x-4>=0$ ovvero quando $16^x>=4$. Vediamo quando succede questo:

$16^x$ può essere scritto come $(4^2)^x=4^{2x}$ quindi $4^{2x}>=4$. Da qui derivi che $2x>=1$ e quindi $x>=1/2$.

Ricapitolando, per $x>=1/2$ possiamo togliere il valore assoluto e la disequazione risulta:

$16^x-4>=4+2*4^x$ cioè $4^{2x}-4>=4+2*4^x$ 

Portando tutto a sinistra viene:

$4^{2x}-2*4^x-8>=0$  

Adesso devi chiamare $t=4^x$

$t^2-2*t-8>=0$

$\Delta=36=6^2$ e le radici in t sono $t_1=4$ e $t_2=-2$

le teoriche soluzioni sarebbero pertanto per $t>=t_1$ e per $t<=t_2$ ma adesso dobbiamo controllare in $x$.

$t>=t_1$ significa $4^x>=4$ e quindi $x>=1$ che va bene, in quanto siamo nel campo $x>=1/2$

$t<t_2$ significa $4^x<=-2$ che è impossibile, in quanto $4^x>=0$ sempre, per ogni $x$

Fino a qui abbiamo fatto mezzo esercizio e per ora siamo a $x>=1$

Adesso vediamo cosa succede per $x<1/2$. possiamo sempre togliere il valore assoluto, ma dobbiamo cmabiare di segno a quello che "sta dentro" al valore assoluto:

$-16^x+4>4+2*4^x$  --> $-4^{2x}>2*4^x$

Grazie al cielo questa disequazione non ha soluzione, in quanto $-4^{2x}$ è sempre negativo e non potrà mai essere maggiore di $2*4^x$ che è sempre positivo.

in definitiva la soluzione dell'esercizio è soltanto

$x>=1$

Es 320

Raccogli un $2^x$ a sinistra:

$2^x(1+2^1+2^2)>14$ -->$2^x(1+2+4)>14$-->$2^x(7)>14$-->$2^x>14/7$-->$2^x>2$

Quindi adesso applichi il logaritmo in base 2 sia a destra che a sinistra e ti rimane x>1. Oppure ragioni in questo modo: se $2^x>2^1$ come deve essere l'esponente x a sinistra rispetto all'esponente 1 che si trova a destra? Affinché la disuguaglianza sia rispettata è chiaro che x>1.

Es. 327. Questo sembra difficile, ma non è quanto sembra.

Per prima cosa guardiamo la radice quadrata $\sqrt{4^x+3^{-x}+10}$

Essa contiene tre termini tutti positivi, quindi è sempre strattamente positiva per ogni $x$. Quindi ti puoi "dimenticare" del denominatore e concentrarti soltanto sul numeratore.

$2^{3x}$ scrivilo come $(2^x)^3$

$2^{x+2}$ scrivilo come $(2^x)*2^2=4(2^x)$

$2^{2x+1}$ scrivilo come $((2^x)^2)*2^1=2(2^x)^2$

il numeratore pertanto diventa:

$(2^x)^3-6(2^x)^2+12*2^x-8>=0$

adesso $t=2^x$

$t^3-6t^2+12*t-8>=0$ che si riconosce essere $(t-2)^3>=0.

quindi $t-2>=0$ --> t>=2.

pertanto $2^x>=2$ e in definitiva $x>=1$