[Risolto] Algebra Lineare

1. Esistenza della matrice P.

La domanda equivale a chiedere se le due matrici A e B sono simili.

Osserviamo che la matrice B è una matrice diagonale quindi gli autovalori di B sono

λ₁ = 1

λ₂ = -1

λ₃ = 2

Osserviamo inoltre che la matrice A è una triangolare inferiore, quindi gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale.

Gli autovalori di A sono eguali agli autovalori di B quindi la due matrici sono simili, questo ci assicura l'esistenza della matrice P. Possiamo inoltre affermare che le colonne di P non sono altro che i 3 auto-vettori associati agli autovalori.

Calcoliamoli.

• λ₁ = 1

A(x,y,z) = (x,y,z)  NB. I vettori dovrebbero essere scritti in verticale.

Ricaviamo il sistema 

{x = x ⇒ qualunque valore di x, scegliamo 1 x=1

{1-y = y ⇒ y = 1/2

{2+3/2+2z = z ⇒ z = -7/2

L' autovettore v₁=(1,1/2,-7/2 ) che razionalizzato ci da v₁=(2,1,-7)

 

• λ₂ = -1

A(x,y,z) = -(x,y,z)  

Ricaviamo il sistema 

{x = -x ⇒ x = 0

{-y = -y ⇒ qualunque valore di y, scegliamo y=1

{3y+2z = -z ⇒ z = -1

L' autovettore v₂=(0,1,-1)

 

• λ₃ = 2

A(x,y,z) = 2*(x,y,z)   

Ricaviamo il sistema 

{x+0y+0z = 2x ⇒ x = 0

{x-y+0z = 2y ⇒ y=0  (ho proceduto a sostituire x=0)

{2z = 2z ⇒ qualunque valore di z, scegliamo z=1

L' autovettore v₃=(0,0,1)

 

La matrice P è così

(2...0...0)

(1...1...0) = P

(-7..-1..1) 

NB la matrice P può assumere valori diversi in funzione dell'ordine attribuiti agli autovalori e alle loro razionalizzazioni.

 

 

Doverosa verifica.

Inversa di P

(1...0...0)

(-1..2...0)*(1/2) = P⁻¹

(6...2...2) 

Applichiamola alla A = P*B*P⁻¹

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B2%2C0%2C0%7D%2C%7B1%2C1%2C0%7D%2C%7B-7%2C-1%2C1%7D%7D*%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C-1%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C2%7D%7D*%281%2F2%29*%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B-1%2C2%2C0%7D%2C%7B6%2C2%2C2%7D%7D

OK.

 

 

@alessandra_12

Ciao. La matrice P esiste ed è una triangolare inferiore:(vedi sotto)

Bisogna osservare che le due matrici hanno gli stessi elementi sulla diagonale principale. Quindi ho posto come matrice da ricercare cioè P , una con gli stessi elementi delle due precedenti e poi altri elementi sotto la diagonale principale, x, y, z. Ho fatto quindi il prodotto delle tre matrici e sono arrivato a scrivere un sistema  di 3 equazioni in tre incognite confrontando i risultati ottenuti con la matrice B. (rifai tu i calcoli!)

QUESTA RISPOSTA E' VALIDA E CONCISA
Nella risposta di sabato 15 maggio 2021 ho scambiato fischi per fiaschi e messo giù le cose alla rinfusa perché andavo a memoria (a 82 anni la cosa è sconsigliabile).
Cerco qui di metterle in ordine.
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Se la matrice
* A = {{1, 0, 0}, {1, - 1, 0}, {2, 3, 2}}
ha autovalori distinti
* (λ1, λ2, λ3) = (2, 1, - 1)
allora i suoi autovettori
* e1 = (0, 0, 1)
* e2 = (0, - 1, 1)
* e3 = (- 2, - 1, 7)
sono linearmente indipendenti e la matrice E che li ha per colonne ha l'inversa
* E = {{0, 0, - 2}, {0, - 1, - 1}, {1, 1, 7}}
* F = inv[E] = {{3, 1, 1}, {1/2, - 1, 0}, {- 1/2, 0, 0}}
e insieme diagonalizzano la A, producendo la matrice D diagonale costituita dagli autovalori che compaiono in un ordine che dipende da quello delle colonne di E
* D = F.A.E = {{2, 0, 0}, {0, - 1, 0}, {0, 0, 1}}
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Con
* E = {{- 2, 0, 0}, {- 1, - 1, 0}, {7, 1, 1}}
* F = inv[E] = {{- 1/2, 0, 0}, {1/2, - 1, 0}, {3, 1, 1}}
si ha
* D = F.A.E = {{1, 0, 0}, {0, - 1, 0}, {0, 0, 2}}
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Quindi
* P = {{- 2, 0, 0}, {- 1, - 1, 0}, {7, 1, 1}}

ATTENZIONE: MI SCUSO PER ESSERMI FIDATO DELLA MIA MEMORIA.
La risposta che segue, pubblicata ieri (sabato 15 maggio 2021), è un errore scaturito da un grave equivoco (chissà che avevo capito, boh.).
Non la cancello perché "necesse est enim ut veniant scandala", ma spero di non aver arrecato danno @Alessandra_12.
Se mi riesce cerco di preparare una nuova risposta che, per Alessandra che ha fatto l'orribile dichiarazione "non so da dove partire", sistematizzi le idee del caso (ma soprattutto per rinfrescare le mie, di idee!); lei comunque ha già avuto due ottime risoluzioni del problema specifico.
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La matrice
* A = {{1, 0, 0}, {1, - 1, 0}, {2, 3, 2}}
ha
* determinante: det[A] = - 2
* equazione secolare: x^3 - 2*x^2 - x + 2 = (x + 1)*(x - 1)*(x - 2) = 0
* autovalori 123: (2, 1, - 1)
che, guarda caso, sono proprio gli elementi diagonali della matrice B richiesta.
Quindi la matrice P richiesta deve esistere e si deve comporre con gli
* autovettori 123: {{0, 0, 1}, {0, - 1, 1}, {- 2, - 1, 7}}
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Nell'esercizio la matrice P richiesta è il fattore diagonalizzante destro mentre quello sinistro S è la sua inversa; una delle due deve avere per colonne gli autovettori, nell'ordine adatto a produrre gli autovalori nell'ordine voluto sulla diagonale di B.
Io ora non rammento la procedura costruttiva, né ho voglia di fare ricerche per rinfrescarmi la memoria: tu il libro ce l'hai sottomano e puoi cavartela in pochi minuti. Essendo A d'ordine tre, ci si può permettere di procedere per tentativi a partire dalla matrice E[123] degli autovettori nell'ordine 123 e dalla sua inversa F
* E[123] = {{0, 0, - 2}, {0, - 1, - 1}, {1, 1, 7}}
* F = inv[E] = {{3, 1, 1}, {1/2, - 1, 0}, {- 1/2, 0, 0}}
con cui calcolare i prodotti righe per colonne
* E.A.F = (non è diagonale)
* F.A.E = {{2, 0, 0}, {0, - 1, 0}, {0, 0, 1}} (è diagonale, ma in disordine)
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Ti lascio il piacere di fare una di tre cose:
* proseguire i tentativi e trovare P (dalle nebbie del passato m'era uscita una buona idea);
* proseguire i tentativi e NON trovare P (m'era uscita una cavolata);
* cercare la procedura corretta (tu il libro ce l'hai sottomano).