[Risolto] Algebra lineare

Ciao Federica!

Per risolvere esercizi con le rette, in generale, può essere una buona idea portarle in forma parametrica. Andiamo dritti al punto.

ESERCIZIO 1

1). Portare le rette in forma parametrica

La prima, r, è già in forma parametrica. Possiamo riscriverla così:

$ r: \Biggl\{ \begin{matrix}x=1\\y=1+\lambda\\z=\lambda\end{matrix} $

Per la seconda, s, basta scegliere una variabile, porla uguale al parametro $ \lambda $ e risolvere il sistema in favore di quest'ultimo.

$ s:\Biggl\{\begin{matrix}2x+y-z=3\\x-y+2z=1\end{matrix}\rightarrow x=\lambda \rightarrow \Biggl\{\begin{matrix}x=\lambda\\2\lambda+y-z=3\\\lambda-y+2z=1\end{matrix}\rightarrow $

$ \Biggl\{\begin{matrix}x=\lambda\\2\lambda+y-z=3\\y=\lambda+2z-1\end{matrix} \rightarrow \Biggl\{\begin{matrix}x=\lambda\\3\lambda+z=4\\y=\lambda+2z-1\end{matrix} \rightarrow $

$ \Biggl\{\begin{matrix}x=\lambda\\z=4-3\lambda\\y=\lambda+2z-1\end{matrix} \rightarrow
\Biggl\{\begin{matrix}x=\lambda\\z=4-3\lambda\\y=7-5\lambda\end{matrix} $

2). Intersezioni 

Dato che ci vengono richieste le intersezioni tra queste due rette, basta uguagliare, membro a membro, le espressioni delle coordinate delle due rette. (Chiameremo $ \lambda' $ il parametro associato a s).

$ \Biggl\{\begin{matrix}r\\s\end{matrix} $

$ \Biggl\{\begin{matrix}\lambda=1\\1+\lambda=7-5\lambda'\\\lambda=4-3\lambda'\end{matrix} $

Sostituendo $ \lambda $ otteniamo:

$ \Biggl\{\begin{matrix}\lambda=1\\1+\lambda=7-5\lambda'\\\lambda'=1\end{matrix} $

Infine, sostituendo entrambi i valori nella II equazione:

$ \Biggl\{\begin{matrix}\lambda=1\\2=2\\\lambda'=1\end{matrix} $

Si ottiene un'identità.

Quindi il sistema è determinato e le due rette si incontrano in un punto. Per trovare tale punto, basta sostituire $ \lambda=1 $ nell'equazione di r (o $ \lambda'=1 $ in s).

Operando questo semplicissimo passaggio, si ottiene che il punto di intersezione è:

$ P: \Biggl\{ \begin{matrix}x=1\\y=2\\z=1\end{matrix} $

Che è proprio la soluzione che ti viene indicata. La risposta giusta è, quindi, l'ultima. 

ESERCIZIO 2

Devi svolgere esattamente gli stessi passaggi, quindi ti riporto solo i calcoli.

$ r: \Biggl\{ \begin{matrix}x=\lambda\\y=1\\z=-1\end{matrix} $

$ s:\Biggl\{\begin{matrix}x+2y+z=2\\-x+y-z=1\end{matrix}\rightarrow x=\lambda \rightarrow \Biggl\{\begin{matrix}x=-\lambda\\y=x+\lambda+1\\z=\lambda\end{matrix}\rightarrow $

$ \Biggl\{\begin{matrix}x=-\lambda\\y=1\\z=\lambda\end{matrix} $

$ \Biggl\{\begin{matrix}r\\s\end{matrix} $

$ \Biggl\{\begin{matrix}\lambda=-\lambda'\\1=1\\-1=\lambda'\end{matrix} $

Quindi, sostituendo $ \lambda=1 $ in r o $ \lambda'=-1 $ in s, si ottiene:

$ P: \Biggl\{\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=-1\end{matrix} $

 

Spero di esserti stato utile, se hai dubbi chiedi pure. 😀