Una piramide triangolare regolare ha per facce laterali tre triangoli rettangoli le cui ipotenuse sono lunghe
3rad2 cm. Un piano parallelo alla base taglia la piramide secondo una superficie di area
9/8 * rad3 cm2?. Calcola
il volume della piramide data e della piramide che il piano predetto stacca da quella data.
I risultati sono 9/2 cm3 e 9/16 cm3
4
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Livello 0
Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm; volume, cm^3.
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Per definizione di piramide, regolare o no, le facce laterali sono triangoli isosceli sulla base che è un lato di base della piramide.
Se devono anche essere rettangoli allora sono metà di un quadrato che ha per lato i due spigoli eguali (cateti) e per diagonale il lato di base (ipotenusa).
Piramide regolare vuol dire che è retta su una base che è un poligono regolare.
Piramide triangolare regolare è una piramide retta che ha per base un triangolo equilatero.
Con tali triangoli, l'apotema della piramide è metà dello spigolo di base e la distanza di questo dal piede dell'altezza della piramide è un terzo dell'altezza della base.
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Quella descritta ha
* spigoli di base lunghi b = 3*√2
* apotema a = b/2 = 3/√2
* spigoli d'apice lunghi s = b/√2 = 3
* altezza della base hB = (√3/2)*b = (3/2)*√6
* altezza h = √(a^2 - (hB/3)^2) = √((3/√2)^2 - ((3/2)*√6/3)^2) = √3
* area di base B = b*hB/2 = (9/2)*√3
* volume V = B*h/3 = 9/2
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"Un piano parallelo alla base taglia la piramide" in un tronco di piramide nel semispazio della base e in una piramide SIMILE all'originale nel semispazio dell'apice.
Il rapporto di similitudine fra i volumi è k^3, quello fra le superficie è k^2, quello fra le lunghezze è k.
Il criptico dato "secondo una superficie di area 9/8 * rad3 cm2?." ha una lettura ragionevolmente accettabile dicendo che
* area di base B' = (9/8)*√3
da cui
* k^2 = B'/B = 1/4
* k = 1/2
* k^3 = 1/8
* V' = V*k^3 = 9/16
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Genius I
Ciao e benvenuto.
La superficie di base ha per spigoli i lati di un triangolo equilatero pari a quanto dice il testo:
L = 3·√2 cm
Quindi area di base=1/2·3·√2·(3·√2·√3/2) = 9·√3/2 cm^2
La lunghezza degli spigoli delle tre facce laterali vale:
l= 3·√2/√2 = 3 cm
L'apotema laterale vale:
a =√(3^2 - (3·√2/2)^2) = 3·√2/2 cm
Il raggio del cerchio inscritto nella base si ottiene sapendo che:
area di base=perimetro di base*r/2
Quindi si deduce che:
r=9·√3/(9·√2) = √6/2 cm
Altezza della piramide=√((3·√2/2)^2 - (√6/2)^2) = √3 cm
Volume piramide=1/3·9·√3/2·√3 = 9/2cm^3
L'ultima parte la puoi svolgere anche tu. Buonanotte!
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Genius II
