[Risolto] Aiutooo

Problema:

Per l'insieme A, determinare il complementare rispetto ad U.

$U=\{ x \in \mathbb{Z} : |x| \text{ e' pari}\}$

$A=\{x : x=2n , n \in \mathbb{N}\}$

Soluzione:

Il complementare di un insieme è tutto ciò che non è in quell'insieme. Intuitivamente immagina una cassa di mele, il complementare dell'insieme mele è la cassa.

Nel caso in questione il complementare è rispetto ad un altro insieme dato, quindi potresti immaginare che l'insieme A sia dentro U, in simboli $A \subseteq U$, il complementare di A è dunque $\overline{A}=U \setminus A$. Il simbolo $\setminus$ puoi interpretarlo come il simbolo - di una sottrazione. Quindi $Non \ \ \ mele = Cassa \ \ \ piena \ - \ mele$.

Adesso che hai fissato i concetti è possibile risolvere il quesito.

L'insieme A è una scatola con dentro i numeri pari dato che qualsiasi numero naturale (1,2,3,...) moltiplicato per 2 è un numero pari per definizione.

Per definire l'insieme U è necessario conoscere il significato di |...|. Questo oggetto si chiama modulo/valore assoluto; in breve qualsiasi cosa ci infili dentro diventa matemagicamente positiva. Ad esempio |-3|=3, |0|=0, |2|=2.

L'insieme U dunque rappresenta tutti i numeri relativi ($\mathbb{Z}$: ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...) il cui modulo è pari.

L'insieme $\overline{A}$ è dunque quello formato dai numeri pari con segno negativo (...,-8,-6,...) dato che l'insieme A ha solo numeri pari positivi visto che n è naturale (1,2,3,...).

$\overline{A}= numeri \ \ relativi \ \ pari \ - \ numeri \ \ positivi \ \ pari =\{x: x=-2n, n \in \mathbb{N}\}$.