Esercizi luoghi geometrici

Question

Esercizio 7. Si determini il luogo dei punti $P$ del piano tali che $d\left(P, F_1\right)+d\left(P, F_2\right)=8$, dove $F_1(-2,4)$ e $F_2(-2,0)$.
[R. Il luogo richiesto è l'ellisse di equazione canonica $\frac{(x+2)^2}{12}+\frac{(y-2)^2}{16}=1$ ]
Esercizio 8. Si determini il luogo dei punti $P$ del piano tali che $\left|d\left(P, F_1\right)-d\left(P, F_2\right)\right|=4$, dove $F_1(3,4)$ e $F_2(3,-2)$.
[R. Il luogo richiesto è l'iperbole di equazione canonica $\frac{(x-3)^2}{5}-\frac{(y-1)^2}{4}=-1$ ]

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MariaGrazia_

(@mariagrazia_)

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31/05/2023 12:37

LucianoP · Accepted Answer

Iperbole ABS(√((x - 3)^2 + (y - 4)^2) - √((x - 3)^2 + (y + 2)^2)) = 4 elevo al quadrato: (√(x^2 - 6·x + y^2 - 8·y + 25) - √(x^2 - 6·x + y^2 + 4·y + 13))^2 = 16 quindi - 2·√(x^2 - 6·x + y^2 + 4·y + 13)·√(x^2 - 6·x + y^2 - 8·y + 25) + +2·x^2 - 12·x + 2·y^2 - 4·y + 38 = 16 ------------------------------------------------- - 2·√(x^2 - 6·x + y^2 + 4·y + 13)·√(x^2 - 6·x + y^2 - 8·y + 25) = =16 - (2·x^2 - 12·x + 2·y^2 - 4·y + 38) --------------------------------------------------- - 2·√(x^2 - 6·x + y^2 + 4·y + 13)·√(x^2 - 6·x + y^2 - 8·y + 25) = =- 2·(x^2 - 6·x + y^2 - 2·y + 11) --------------------------------------------- Elevo ancora al quadrato 4·(x^2 - 6·x + y^2 + 4·y + 13)·(x^2 - 6·x + y^2 - 8·y + 25)+ - 4·(x^2 - 6·x + y^2 - 2·y + 11)^2 = 0 ------------------------------------------------- quindi sviluppando 4·x^2 - 24·x - 5·y^2 + 10·y = -51 [attach]48803[/attach] Altri due passaggi: 4·(x^2 - 6·x + 9) - 36 - 5·(y^2 - 2·y + 1) + 5 = -51 4·(x^2 - 6·x + 9) - 5·(y^2 - 2·y + 1) = -51 - 5 + 36 4·(x^2 - 6·x + 9) - 5·(y^2 - 2·y + 1) = -20 (x - 3)^2/5 - (y - 1)^2/4 = -1

LucianoP · Answer

Un solo esercizio per volta. Vedi:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Ellisse

√((x + 2)^2 + (y - 4)^2) + √((x + 2)^2 + y^2) = 8

√((x + 2)^2 + (y - 4)^2) = 8 - √((x + 2)^2 + y^2)

eleviamo al quadrato:

x^2 + 4·x + y^2 - 8·y + 20 = (√(x^2 + 4·x + y^2 + 4) - 8)^2

x^2 + 4·x + y^2 - 8·y + 20 = - 16·√(x^2 + 4·x + y^2 + 4) + (x^2 + 4·x + y^2 + 68)

- 8·y - 48 = - 16·√(x^2 + 4·x + y^2 + 4)

y + 6 = 2·√(x^2 + 4·x + y^2 + 4)

eleviamo al quadrato ancora

y^2 + 12·y + 36 = 4·x^2 + 16·x + 4·y^2 + 16

4·x^2 + 16·x + 4·y^2 + 16 - (y^2 + 12·y + 36) = 0

(4·x^2 + 16·x) + (3·y^2 - 12·y) = 20

4·(x^2 + 4·x) + 3·(y^2 - 4·y) = 20

4·(x^2 + 4·x + 4) - 16 + 3·(y^2 - 4·y + 4) - 12 = 20

4·(x^2 + 4·x + 4) + 3·(y^2 - 4·y + 4) = 48

4·(x + 2)^2 + 3·(y - 2)^2 = 48

4·(x + 2)^2/48 + 3·(y - 2)^2/48 = 1

(x + 2)^2/12 + (y - 2)^2/16 = 1

LucianoP

(@lucianop)

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31/05/2023 21:38

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