[Risolto] aiutoo

Consideriamo la forza di attrazione gravitazionale tra le tre masse.

La distanza tra A e C è data dalla diagonale del quadrato ed è pari a:

$d=\sqrt{15^2+15^2}= \sqrt{450} cm = 21.2 cm = 0.212 m$

La forza con cui A attrae il corpo C sarà:
$F_{AC}= G \frac{m_A m_B}{d^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{5 \cdot 12}{0.212^2} = 8893 \cdot 10^{-11} = 8.9 \cdot 10^{-8} N$

Analogamente la forza con cui B, posto a una distanza di 15cm=0.15 m, attrae C è:

$F_{BC}= G \frac{m_B m_C}{l^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{8 \cdot 12}{0.15^2} = 28458 \cdot 10^{-11} = 28.5 \cdot 10^{-8} N$

Per calcolare la risultante dobbiamo scomporre i due vettori delle forze trovate. Considerando un piano cartesiano con origine nel punto C, vediamo che il modulo delle due componenti di $F_{AC}$ si ottiene come:

$F_{AC,x}=F_{AC,y} = F_{AC}\cdot sin45 = 6.3 \cdot 10^{-8} N$

mentre il vettore $F_{BC}$ ha come unica componente non nulla quella lungo l'asse y.

Le componenti della forza risultante saranno:

$F_{x}=F{AC,x} = 6.3 \cdot 10^{-8} N$

$F_{y}=F_{AC,y}+F_{BC}= 6.3 \cdot 10^{-8} + 28.5 \cdot 10^{-8} = 34.8 \cdot 10^{-8} N$

Allora la forza totale su C ha modulo:

$F = \sqrt{F_{x}^2+F_{y}^2} = 35.4 \cdot 10^{-8} N$

L'accelerazione si può ricavare dalla II legge di Newton F=ma:

$a_C = \frac{F}{M_C} = \frac{35.4 \cdot 10^{-8} N}{12} = 2.95 \cdot 10^{-8} m/s^2$

Per quanto riguarda l'energia totale del sistema, dobbiamo calcolare l'energia potenziale delle tre masse, considerando le varie coppie:

$U_{AB} = G \frac{m_A m_B}{l} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{5 \cdot 8}{0.15} =  1778 \cdot 10^{-11} J$

$U_{BC} = G \frac{m_B m_C}{l} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{8 \cdot 12}{0.15} =  4268\cdot 10^{-11} J$

$U_{AC} = G \frac{m_A m_C}{d} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{5 \cdot 12}{0.21} =  1905 \cdot 10^{-11} J$

Quindi

$U_{TOT}= U_A+U_B+U_C = 7951 \cdot 10^{-11} J$

Noemi