[Risolto] AIUTO PER RISOLVERE QUESTO PROBLEMA

Le rette dei lati AC e BC devono essere perpendicolari, quindi devono avere i coefficienti angolari reciproci ed opposti.

 

Il punto C appartiene alla retta di equazione y = - x + 3 e ha quindi coordinate

C(x;-x + 3)

 

m(AC) = (yC - yA)/(xC - xA) = (- x + 3 - 1)/(x + 2) = (2 - x)/(x + 2)

m(BC) = (yC - yB)/(xC - xB) = (- x + 3 - 2)/(x - 2) = (1 - x)/(x - 2)

Basta ora imporre i due coefficienti angolari reciproci ed opposti:

 

(2 - x)/(x + 2) = (x - 2)/(x - 1)

 

(2 - x)/(x - 1) = (x - 2)(x + 2)

 

- x² + 3x - 2 = x² - 4

 

2x² - 3x - 2 = 0

 

x = (3 ± 5)/4

 

Se xC = - 1/2

yC = 3 - x = 3 + 1/2 = 7/2

 

Se xC = 2

yC = 1

 

C(-1/2;7/2)

C'(2;1)

RIPASSO
Ogni triangolo ABC rettangolo in C è inscritto in una circonferenza Γ di diametro l'ipotenusa AB.
Se C deve stare oltre che su Γ anche sulla retta r, allora dev'essere un punto comune alle due curve (se ne esistono).
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CASO IN ESAME
Il segmento di estremi A(- 2, 1), B(2, 2)
* ha punto medio M(0, 3/2)
* è lungo √17
* giace sulla retta (diametrale) d ≡ y = (x + 6)/4
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La circonferenza centrata in M e di raggio √17/2 è
* Γ ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = (√17/2)^2
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La retta su cui determinare il punto C è
* r ≡ x + y - 3 = 0 ≡ y = 3 - x
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RISULTATO: PUNTI COMUNI
* r & Γ ≡ (y = 3 - x) & (x^2 + (y - 3/2)^2 = (√17/2)^2) ≡ C1(- 1/2, 7/2) oppure C2(2, 1)
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GRAFICI
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%28-2%2C1%29%2C%282%2C2%29%2C%28-1%2F2%2C7%2F2%29circumcircle
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%28-2%2C1%29%2C%282%2C2%29%2C%282%2C1%29circumcircle
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%28-2%2C1%29%2C%282%2C2%29%2C%282%2C1%29%28-2%2C1%29%2C%28-1%2F2%2C7%2F2%29%2C%282%2C2%29