Sia rOs un angolo di ampiezza 120°. Considera, rispettivamente sui lati r ed s, i due punti A e B, tali che OA = 2ae OB =a.
a.Determina il punto P, sulla bisettrice dell’angolo rOs, in modo che risulti PA^2+ PB^2= 7 a2 .
b.In corrispondenza del punto Pindividuato al punto precedente, determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero OAPB e stabilisci se è inscrivibile in una circonferenza.
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punti
Livello 0
Ciao. Conviene fare riferimento a due circonferenze concentriche con O(0,0) origine degli assi cartesiani: il segmento OB sta sull'asse delle x quindi B(a,0) mentre OA=2a sta sulla retta y=-√3·x.Quindi:
A ha coordinate: x=2·a·COS(120°) = -a e y=2·a·SIN(120°) = √3·a quindi A(-a,√3·a)
Se il punto P sta sulla bisettrice dell'angolo dato, vuol dire che sta sulla retta y = √3·x.
Quindi P(x,√3·x)
La misura di PA^2=(-a - x)^2 + (√3·a - √3·x)^2 = 4·x^2 - 4·a·x + 4·a^2
La misura di PB^2=(a - x)^2 + (0 - √3·x)^2 = 4·x^2 - 2·a·x + a^2
La somma di queste due misure vale:
(4·x^2 - 4·a·x + 4·a^2) + (4·x^2 - 2·a·x + a^2) = 7·a^2
8·x^2 - 6·a·x - 2·a^2 = 0 (diviso 2)
4·x^2 - 3·a·x - a^2 = 0------> (x - a)·(4·x + a) = 0
Risolvo:
x = - a/4 ∨ x = a posto a>0 scarto la negativa. Quindi:
P(a, √3·a)
A questo punto è facile stabilire gli angoli interni del quadrilatero APBO che sono riportati nella figura allegata. Tale quadrilatero non è inscrivibile in una circonferenza perché gli assi dei 4 lati non passano tutti per un unico punto. (figura data per a=2)
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Genius II
