[Risolto] Aiuto per favore

Per tutti gli esercizi di cinematica del punto materiale si comincia dallo scrivere, ma SOPRATTUTTO DAL PENSARE, "punto materiale" al posto di qualsiasi oggetto mobile sia nominato in narrativa. Quindi
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Un punto materiale, soggetto alla gravità terrestre, si lancia con velocità V = 10.3 = 103/10 m/s e alzo θ = 40° da una posizione sull'asse y all'altezza di 1.70 = 17/10 m.
Si chiede di determinare:
a) l'equazione cartesiana della traiettoria;
b) l'altezza del culmine;
c) la gittata.
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Una volta che ci si siano chiarite le idee sui risultati richiesti e i dati forniti il secondo passo è la consultazione del libro di testo per ricopiare il modello matematico generale per la categoria cui appartiene il problema dello specifico esercizio (l'hai riconosciuta, spero! La categoria è "moto parabolico sotto gravità".)
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I passi successivi sono:
* particolarizzare il modello generale per lo specifico esercizio;
* manipolare il modello particolare ottenuto per ottenere i risultati richiesti (determinati o indeterminati) o per dimostrarne l'impossibilità;
* esibire risultati e/o dimostrazioni.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Nel caso in esame si hanno quasi tutte le misure in unità SI (ma l'alzo in gradi sessagesimali), i dati di lunghezza e velocità con tre cifre significative, l'alzo con valore esatto.
* h = 17/10 m
* V = 103/10 m/s
* θ = 40°
* x(t) = (103/10)*cos(40°)*t
* y(t) = 17/10 + ((103/10)*sin(40°) - (196133/40000)*t)*t
* vx(t) = (103/10)*cos(40°)
* vy(t) = (103/10)*sin(40°) - (196133/20000)*t
NOTA
Lascio solo indicate le funzioni d'arco necessarie, e nei calcoli numerici ne approssimerò i valori a tre cifre significative come tutti i risultati, perche le loro espressioni esatte sono un po' ingombranti
cos(40°) = ((- 1 + i*√3)^(1/3)/2 + (- sqrt1 + i*√3)^(1/3)/2^(2/3))/2 ~= 0.766
sin(40°) = - ((- 1)^(4/9) - 1)*(- 1)^(5/18)/2 ~= 0.643
sin(10°) = - ((- 1)^(1/9) - 1)*(- 1)^(4/9)/2 ~= 0.174
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) l'equazione cartesiana della traiettoria
* y = - (196133/(4243600*cos^2(40°)))*x^2 + tg(40°)*x + 17/10 ~≡
~≡ y = - (0.0788)*x^2 + (0.839)*x + 1.70
Infatti
* (x = (103/10)*cos(40°)*t) & (y = 17/10 + ((103/10)*sin(40°) - (196133/40000)*t)*t) & (t > 0) & (x > 0) ≡
≡ (t = (10/(103*cos(40°)))*x) & (y = - (196133/(4243600*cos^2(40°)))*x^2 + tg(40°)*x + 17/10)
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b) l'altezza del culmine
* y(T) ~= 3.93 m
dove T > 0 è l'istante in cui la velocità verticale s'annulla prima d'invertirsi.
Infatti
* (vy(T) = (103/10)*sin(40°) - (196133/20000)*T = 0) & (T > 0) ≡
≡ T = (206000/196133)*sin(40°)
* y(T) = 17/10 + (1060900/196133)*sin^2(40°) ~= 3.934903 ~= 3.93 m
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c) la gittata
* x(T) ~= 12.4 m
dove T > 0 è l'istante in cui la quota s'annulla per l'impatto al suolo.
Infatti
* (y(T) = 17/10 + ((103/10)*sin(40°) - (196133/40000)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡
≡ T = (20/196133)*(√(86387610 - 53045000*sin(10°)) + 10300*sin(40°))
* x(T) = (206/196133)*(√(86387610 - 53045000*sin(10°)) + 10300*sin(40°))*cos(40°) ~= 12.395 ~= 12.4 m

Componenti iniziali della velocità:

v0_x= v0*cos(40)

v0_y = v0*sin(40)

Tempo per raggiungere la massima altezza:

t_h_max = v0_y /g = 0,68 s

Ascissa del vertice:

xV= v0_x *t_h_max = 5,37 m

Ordinata del vertice:

yv= v0_y² / (2g) + 1,70 = 3,93 m

Intersezione della parabola con asse y:

(0;1,70 m)

Tempo di volo:

tv= t_h_max + radice (2 h_max /g) = 1,58 s

Gittata:

Xg = v0_x * tv = 12,42 m

Conoscendo le coordinate del vertice e del punto di intersezione con l'asse y, puoi determinare la traiettoria

y=ax²+bx+1,70

Le condizioni per determinare a, b sono:

{-b/2a= 5,37

(xv; yv) € y

Una giovane atleta partecipa a una gara di getto del peso. Quando rilascia l'attrezzo, il peso si trova a 1,70 m di altezza dal suolo. L'atleta riesce a imprimere al peso una velocità iniziale Vo =10,3 m/s, inclinata di 40∘ rispetto alla pedana.
Supponendo che all'istante iniziale il peso si trovi sull'asse x, determina:
l'equazione cartesiana della traiettoria;
l'altezza massima raggiunta dal peso;

Δh = (Vo*sin 40°)^2/2g = (10,3*0,6428)^2/19,612 = 2,23 m

H = ho+Δh = 1,70+2,23 = 3,93 m 

tup = Vo*sin 40°/g = 10,3*0,6428/9,806 = 0,675 sec 

tdown = √2H/g = √3,93*2/9,806 = 0,895 sec 

t = tup+tdown = 1,570 sec 

range R = t*Vo*cos 40° = 1,57*10,3*0,7660 = 12,39 m

y = ho+(10,3*0,6428t-4,903t^2)

verifica : se l'equazione è corretta , dopo un tempo t = 1,570,  y dovrebbe valere 0

1,7+10,3*0,642*1,570-4,903*1,57^2 = 0,00 m ...direi che ci siamo !!