Aiuto matematica risolvere graficamente e algebricamente

Risposta grafica.

Esprimiamo l'equazione come un sistema equivalente di equazioni.

$ \left\{\begin{aligned} y &= \sqrt{-x^2-2x+3} \\ y &= x+3 \end{aligned} \right. $

1. La prima equazione rappresenta una semicirconferenza, infatti

$y^2 = -x^2-2x+3$

$ x^2+y^2+2x-3 = 0; y ≥ 0$

2. La seconda equazione rappresenta una retta

Le soluzioni del sistema, ovvero le soluzioni dell'equazione data sono 

1.    x = - 3
2.    x = -1

 Risposta algebrica.

C.E. = x∈[-3, 1]

Infatti, 

$ -x^2-2x+3 ≥ 0 $ con y ≥ 0

Passiamo alla risoluzione dell'equazione, quadriamo ambo i membri

$ -x^2-2x+3  = x^2+6x+9$

$ 2x^2+8x+6  = 0 $

$ x^2+4x+3  = 0 $

Le cui due soluzioni sono:

1. x = -3 
2. x = -1 

Soluzioni coerenti con il C.E. e con il grafico.

Graficamente è l'intersezione fra una semicirconferenza ed una retta.

√(- x^2 - 2·x + 3) = x + 3

elevo al quadrato:

- x^2 - 2·x + 3 = x^2 + 6·x + 9

x^2 + 6·x + 9 - (- x^2 - 2·x + 3) = 0

2·x^2 + 8·x + 6 = 0

x^2 + 4·x + 3 = 0

(x + 1)·(x + 3) = 0

x = -3 ∨ x = -1

verifica se sono radici estranee

√(- (-3)^2 - 2·(-3) + 3) = -3 + 3

0 = 0

√(- (-1)^2 - 2·(-1) + 3) = -1 + 3

2 = 2

Non sono estranee

y = √(- x^2 - 2·x + 3) è semicirconferenza

(y = √(- x^2 - 2·x + 3))^2

y^2 = - x^2 - 2·x + 3---> y^2 + x^2 + 2·x - 3 = 0

(x^2 + 2·x + 1) + y^2 - 3 - 1 = 0

(x + 1)^2 + y^2 = 4

(centro [-1,0] ; raggio r = 2)

Abbiamo quindi una semicirconferenza non negativa