Sto avendo difficoltà a risolvere questo limite.
Ho ragionato in questo modo: nel termine tra parentesi applico i limiti notevoli, poi metto in evidenza x^3, porto il denominatore fuori dalla radice e ottengo x^(9/2) che tende a zero. Nel caso \alpha >3 ottengo facilmente il limite che tende a 0. Ma nel caso <3 ho la forma indeterminata 0 per infinito che non riesco a sbloccare.
26
punti
Livello 0
Problema:
Calcolare, al variare del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$, il seguente limite:
\[
\lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{x^2 \log x + 1}{x^3}} \left(5^{x^3} - 2^{x^\alpha} \right)
\]
Soluzione:
Si pone
\[
A(x) := \sqrt{\frac{x^2 \log x + 1}{x^3}}, \quad B(x) := 5^{x^3} - 2^{x^\alpha}
\]
Poiché $x^2 \log x \to 0^-$ per $x \to 0^+$, si ha:
\[
x^2 \log x + 1 \to 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2 \log x + 1}{x^3} \sim \frac{1}{x^3}
\]
\[
\Rightarrow \quad A(x) \sim \frac{1}{x^{3/2}} \to +\infty \quad \text{per } x \to 0^+
\]
Si sviluppa poi B(x) al primo ordine:
\[
5^{x^3} = 1 + x^3 \log 5 + o(x^3), \quad
2^{x^\alpha} = 1 + x^\alpha \log 2 + o(x^\alpha)
\]
\[
\Rightarrow B(x) \sim x^3 \log 5 - x^\alpha \log 2
\]
Si ottiene:
\[
A(x) B(x) \sim \frac{1}{x^{3/2}} \left( x^3 \log 5 - x^\alpha \log 2 \right)
= \log 5 \cdot x^{3/2} - \log 2 \cdot x^{\alpha - 3/2}
\]
Distinguendo i casi in base al valore di $\alpha$, si ha:
$\alpha > \frac{3}{2}$
\[
x^{\alpha - 3/2} \to 0 \quad \Rightarrow \quad A(x)B(x) \to 0
\]
$\alpha = \frac{3}{2}$
$A(x) \sim \frac{1}{x^{3/2}},\quad B(x) \sim x^{3/2}(\log 5 - \log 2)
\Rightarrow A(x)B(x) \to \log\left(\frac{5}{2}\right)$
$\alpha < \frac{3}{2}$
\[
x^{\alpha - 3/2} \to +\infty \quad \implies \quad - \log 2 \cdot x^{\alpha - 3/2} \to -\infty
\implies A(x) B(x) \to -\infty
\]
6218
punti
Livello 6
