aiuto? esercizi sull'ellisse

@grazianaa

Ciao e benvenuta. Un invito a leggere per bene il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

a proporre quindi un solo esercizio per volta palesando le tue difficoltà nel doverlo risolvere.

 

1° esercizio

Ellisse tangente agli assi cartesiani di centro C(3,1), quindi il centro è traslato del vettore di tali componenti.

Semiasse maggiore quindi a=3 e semiasse minore b=1. In base alle informazioni si ha:

(x - 3)^2/3^2 + (y - 1)^2/1^2 = 1

(x^2 - 6·x + 9)/9 + (y^2 - 2·y + 1) = 1

((x^2 - 6·x + 9)/9 + (y^2 - 2·y + 1) = 1)·9

Equazione dell'ellisse è x^2+9y^2-6x-18y+9=0

2° esercizio

Ellisse tangente al solo asse cartesiano y=0 (asse x) di centro C(6,3) con semiasse minore a=1 e semiasse maggiore b=3  (deriva dalla differenza:6-5 di figura). In base alle informazioni si ha:

(x - 6)^2/1^2 + (y - 3)^2/3^2 = 1

(x^2 - 12·x + 36) + (y^2/9 - 2·y/3 + 1) = 1

((x^2 - 12·x + 36) + (y^2/9 - 2·y/3 + 1) = 1)·9

Equazione dell'ellisse è 9x^2+y^2-108x-6y+324=0

Ogni ellisse Γ con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati (x, y) ha l'equazione, in forma normale standard,
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
espressa nei termini di quattro soli parametri anziché i soliti sei:
* le coordinate del centro C(α, β);
* le lunghezze, positive, dei semiassi (a, b) paralleli rispettivamente agli assi (x, y);
ovviamente i fuochi cadono sull'asse maggiore a distanze dal centro
* c = ± √(|a^2 - b^2|).
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NEI CASI DELLA FOTO (e mettile più grandi, in futuro! e con un solo esercizio.)
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243) C(3, 1); a = 3; b = 1
* Γ ≡ ((x - 3)/3)^2 + ((y - 1)/1)^2 = 1
se sviluppi e riduci trovi la forma normale canonica scritta in blu.
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244) C(6, 3); a = 1; b = 3
* Γ ≡ ((x - 6)/1)^2 + ((y - 3)/3)^2 = 1
se sviluppi e riduci trovi la forma normale canonica scritta in blu.
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246) Γ ≡ x^2 + 4*y^2 - 6*x + 2*y + k = 0 ≡
≡ x^2 - 6*x + 4*y^2 + 2*y + k = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 - (- 3)^2 + 4*(y^2 + y/2) + k = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 - (- 3)^2 + 4*((y + 1/4)^2 - (+ 1/4)^2) + k = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 - (- 3)^2 + 4*(y + 1/4)^2 - 4*(+ 1/4)^2 + k = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 + 4*(y + 1/4)^2 = (37 - 4*k)/4 ≡
≡ (x - 3)^2/((37 - 4*k)/4) + (y + 1/4)^2/((37 - 4*k)/16) = 1
Da quest'ultima forma, definita per k != 37/4, si vede che la conica rappresentata ha centro C(3, - 1/4): che conica sia dipende da segni e valori dei denominatori.
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Denominatori eguali
* (37 - 4*k)/4 = (37 - 4*k)/16 ≡ k = 37/4 ≡ IMPOSSIBILE
mostra che non può rappresentare né circonferenze né iperboli equilatere.
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Denominatori discordi
* (37 - 4*k)*(37 - 4*k) < 0 ≡ IMPOSSIBILE
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Denominatori concordi e negativi
* (37 - 4*k < 0) & (37 - 4*k < 0) ≡ k > 37/4
dà la condizione per cui Γ rappresenta iperboli.
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Denominatori concordi e positivi
* (37 - 4*k > 0) & (37 - 4*k > 0) ≡ k < 37/4
dà la condizione per cui Γ rappresenta ellissi.