Aiuto Dimostrazione

Ho notato che ho interpretato male la tua domanda, quindi riscrivo la mia risposta.

Consideriamo il caso 1, quindi il caso in cui $f(-x)>f(x) \implies f(x)<0,\ x>0$, tu hai fatto questi passaggi:

$f(-x)-f(x)>0 \implies -f'(-x)-f'(x)>0$, ma non è necessariamente vero. Ad esempio prendi il caso di $f(x)=\sin(x)$, hai sostanzialmente scritto che $\sin (-x) > \sin(x)$ che è equivalente a $-2\sin(x)>0$, implica che $-2\cos(x)>0$. Ma questo chiaramente non è vero, è vero solo per gli $x$ che soddisfano il sistema:

$\begin{cases} -2\sin(x)>0 \\ -2\cos(x) >0 \end{cases}$

$\begin{cases} \sin(x)<0 \\ \cos(x)<0 \end{cases}$

che è risolto per $\pi+2k\pi < x <\dfrac{2}{3} \pi + 2k\pi \implies (2k+1) \pi < x < \dfrac{2}{3} \pi + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$. Quello che voglio dire è che non puoi derivare entrambi i membri di una disuguaglianza in qualsiasi caso.

Un esempio grafico: 

Se $f(x)=\sin(x)$ (in blu), la curva verde rappresenta $f(-x)-f(x)=-2\sin(x)$, mentre la nera rappresenta la derivata della verde (quindi $-2\cos(x)$). Come vedi, nell'intervallo $\dfrac{3}{2}\pi < x < 2\pi$ (quindi un intervallo in cui $f(-x)-f(x)>0 \Longleftrightarrow f(x)<0$ non è vero che $-f'(-x)-f'(x)>0$. Il passaggio è ingiustificato (lo stesso si applica per il passaggio analogo nel caso 2). Quello che ha detto @cmc è molto semplice da dimostrare:

$f(x)=-f(-x) \implies f'(x)=-f'(-x) \cdot \frac{d}{dx} -x = f'(-x)$

$f'(x)=f'(-x)$

Abbiamo dimostrato che una funzione dispari continua e derivabile in $\mathbb{R}$ ha sempre una derivata pari.

$g(x)=g(-x)$

$g'(x)=g'(-x) \cdot \frac{d}{dx}-x =-g'(-x)$

$g'(x)=-g'(-x)$

Ora abbiamo dimostrato che una funzione pari continua e derivabile in $\mathbb{R}$ ha sempre una derivata dispari.

Se abbiamo una funzione dispari, la sua derivata prima è pari, mentre la derivata seconda è dispari (perché la derivata prima era pari), quindi $f''(x)=-f''(-x)$, sostituendo $x=0$:

$f''(0)=-f''(0) \implies f''(0)=0$.

i) $ f(x)\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $

ii) f(x) è derivabile due volte  (non è detto che la derivata seconda sia continua)

iii) f(x) è una funzione dispari, cioè $f(-x) = -f(x)  \quad \forall x \in \mathbb{R} $

iv) $f'(0) \ne 0$

allora  $ f' '(0) = 0$

Ricordo tre proprietà delle funzioni con simmetria pari/dispari

1. Se g(x) è una funzione dispari definita in un interno dello zero allora g(0) = 0
2. La derivata di una funzione dispari è pari
3. La derivata di una funzione pari è dispari

Applicando tali proprietà si prova la tesi, infatti

Se f(x) è dispari allora f'(x) è pari. Se f'(x) è pari allora f"(x) è dispari. Essendo quest'ultima definita in ℝ necessariamente  f"(0) = 0.

L'ipotesi iv) non è necessaria.

La tua dimostrazione non è altro che la prova delle 3 proprietà in entrambi i due casi di f'(0) > 0 (f(x) crescente) e f'(0) < 0 (f(x) decrescente)