Aiuto con le disequazioni

Domanda: Perché in alcune disequazioni di secondo grado la soluzione è $\forall x \in \mathbb{R}$? 

1. $x^2+3x+5 \geq 0$;

2. $-x^2-2x-3<0$.

Risposta:

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La chiave è nel leggere le disequazioni come se fossero frasi. Il tuo compito è dire se quelle frasi (proposizioni) sono vere, in questo caso specificare quando sono vere, o se sono false.

Quando vedi la dicitura "per ogni $x$ reale", significa che l'enunciato è sempre vero nei reali (rivedi le definizioni degli insiemi numerici ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$) se necessario), ossia che l'affermazione ha senso (solo in quel contesto). 

Ad esempio, $x^2≥0$ è sempre vera? Sì, perché sostituendo la $x$ con numeri positivi, questi restano sempre positivi, mentre quelli negativi diventano positivi a causa dell'elevamento a numero pari.

$x^2>0$ è sempre vera? No, ponendo $x=0$ si ottiene $0>0$, ma ciò è falso perché ontologicamente $0=0$. Ciò significa che la proposizione è vera per $ \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, quindi per tutti i reali tranne lo $0$.

1. $x^2+3x+5≥0$

Si calcola il delta per risolvere l'equazione associata. $\Delta =9-20=-11$, nella formula risolutiva si ottiene $x=\frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2}$. Nei reali è definito $\sqrt{-11}$? No, dacchè non si può calcolare una radice di indice pari con argomento negativo. (Nei complessi $\mathbb{C}$, chiamati anche immaginari, si può, ma questo è un discorso a parte)

Graficamente cosa significa? $y=x^2+3x+5$ è una parabola, mentre $y=0$ è l'asse $x$. Prima di risolvere la disequazione si deve risolvere l'equazione associata per individuare dei punti essenziali, ossia  $x^2+3x+5=0$. Questo è in realtà interpretabile come il sistema $\{y=x^2+3x+5, y=0\}$, il fatto che non si sia trovata la $x$ significa che la parabola NON interseca l'asse $x$, quindi è sempre sopra $y=0$ per ogni $x$ inserita. Vale allora $x^2+3x+5≥0$ $\forall x \in \mathbb{R}$.

2. $-x^2-2x-3<0$

Portando futto a destra si ottiene

$x^2+2x+3>0$

Si procede come prima

$\Delta =4-12=-8<0$

Stesso discorso fatto in $1$. 

Se non ti convince l'interpretazione grafica (giustamente ha i suoi limiti...), ve ne sono molte altre riguardanti il concetto di zero di un polinomio, ma generalmente al liceo non si trattano e per il biennio potrebbero essere abbastanza precoci. 

Quando il discriminante b^2-4ac e' negativo il trinomio non ha zeri. Quindi non cambia mai segno e assume sempre quello del primo coefficiente a. Questo fatto che ho espresso a parole può essere, a richiesta, rigorosamente dimostrato.

x^2 + 3x + 5 ≥ 0 ;

risolvi l'equazione x^2 + 3x + 5 = 0; trovi le radici x1, x2; la soluzione della disequazione è data da valori esterni all'intervallo (x1; x2).

x^2 + 3x + 5 = 0 ;

x = [- 3 +- radice(9 - 20)] / 2;

non esiste in campo reale radice(- 11); quindi x^2 + 3x + 5 non si annulla mai:

x^2 + 3x + 5 > 0 ; è sempre maggiore  di 0, per ogni valore di x.

E' l'equazione che rappresenta una parabola y = x^2 + 3x + 5, sopra l'asse delle x, y sempre positivo.

Non è mai uguale a 0.

Ciao  @vgg2338

Mi servirebbe un piccolo aiuto nel capire come mai in alcune disequazioni di secondo grado il risultato è ∀x∈R.

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a·x^2 + b·x + c > 0  e   a·x^2 + b·x + c < 0

costituiscono disequazioni di secondo grado forti

a·x^2 + b·x + c ≥ 0  e  a·x^2 + b·x + c ≤ 0

costituiscono disequazioni di secondo grado deboli (o attenuate)

Una prima cosa che puoi fare in ogni caso è esaminare il valore numerico del :

Δ = b^2 - 4·a·c  (discriminante dell'equazione di 2° grado associata)

Se risulta :

Δ > 0 l'equazione associata ammette due radici reali e distinte quindi α e β con α < β

poi devi esaminare il coefficiente a della disequazione con il segno della disequazione:

se tali segno sono concordi devi prendere come soluzione della disequazione stessa:

x < α ∨ x > β  (per disequazioni forti)

x ≤ α ∨ x ≥ β  (per disequazioni attenuate)

Quindi intervalli di valori reali esterni alle radici dell'associata.

se invece sono discordi : valori interni alle radici dell'associata

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Se risulta :

Δ < 0 l'equazione associata non ammette alcuna soluzione reale:

In tal caso hai due possibilità:

Se a e segno della disequazione sono concordi : la disequazione è sempre verificata ∀x∈R

Se a e segno disequazione sono discordi : la disequazione è impossibile

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Se risulta :

Δ = 0 l'equazione associata  ammette  soluzioni reali e coincidenti:  α = β

In tal caso è fondamentale la differenza fra disequazione forte e disequazione associata:

Se forte ed a e segno disequazione concordi: R\{α} sono le soluzioni della disequazione

Se forte ed a e segno disequazione discordi: la disequazione è impossibile

Se attenuata ed a e segno della disequazione sono concordi: la disequazione è sempre verificata ∀x∈R

Se attenuata ed a e segno della disequazione sono discordi: la disequazione ammette come soluzione α