Determina l'equazione della circonferenza $\gamma$ passante per i punti $(-3 ; 4),(1 ; 0),(1 ; 4)$ e quella di $\gamma^{\prime}$ che ha per diametro il segmento di estremi $(-4 ;-2)$ e $(2 ; 6)$. Dopo aver verificato che $\gamma$ e $\gamma^{\prime}$ sono concentriche, determina l'area della corona circolare.
numero 384
462
punti
Livello 1
La generica equazione della circonferenza è:
x² + y² + ax + by + c = 0
Imponendo la condizione di appartenenza dei punti A, B, C alla conica, ricaviamo i valori dei tre coefficienti incogniti.
{25 - 3a + 4b + c = 0
{1 + a + c = 0
{17 + a + 4b + c = 0
Sottraendo la prima equazione alla terza si ottiene:
{4a=8 ==> a=2
Dalla seconda si ricava:
{c+3=0 ==> c= - 3
Infine dalla terza si ricava:
b= - 4
L'equazione della circonferenza è:
x² + y² + 2x - 4y - 3 = 0
(x+1)² + (y-2)²=8
La circonferenza ha centro:
C( - 1, 2)
R= radice (8)
La seconda circonferenza ha un diametro di estremi M=( - 4, - 2) e N=(2,6).
Il centro risulta essere il punto medio del segmento MN. Quindi:
C1= [( - 4+2)/2 ; (6-2)/2] = ( - 1, 2)
Possiamo determinare il raggio:
R1= C1-N = radice (9+16) = 5
L'equazione della seconda conica è:
(x+1)² + (y-2)² = 25
Le due circonferenze sono quindi concentriche.
Possiamo determinare l'area della corona circolare:
A=pi*(R1 ² - R²) = pi*(25-8) = 17*pi
77016
punti
Genius II
