[Risolto] Aiutino?

Per y = k dalle rette date si ricavano le intersezioni
* a ≡ y = 2*x + 1 ≡ x = (y - 1)/2 → A((k - 1)/2, k)
* b ≡ y = 10 - x ≡ x = 10 - y → B(10 - k, k)
* c ≡ y = (x - 1)/2 ≡ x = 2*y + 1 → C(2*k + 1, k)
* d ≡ y = (19 - 3*x)/2 ≡ x = (19 - 2*y)/3 → D((19 - 2*k)/3, k)
Dalle ascisse delle intersezioni si ricavano le lunghezze dei segmenti
* |AB| = |(10 - k, k) - ((k - 1)/2, k)| = |(3*(7 - k)/2, 0)| = |3*(7 - k)/2|
* |CD| = |((19 - 2*k)/3, k) - (2*k + 1, k)| = |(8*(2 - k)/3, 0)| = |8*(2 - k)/3|
Per determinare il richiesto valore di k si deve risolvere l'equazione
* |AB| = |CD| ≡ |3*(7 - k)/2| = |8*(2 - k)/3|
applicando tre volte la regola
* |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b)
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1) |3*(7 - k)/2| = |8*(2 - k)/3| ≡
≡ (3*(7 - k)/2 = - |8*(2 - k)/3|) oppure (3*(7 - k)/2 = |8*(2 - k)/3|) ≡
≡ |8*(2 - k)/3| = - 3*(7 - k)/2) oppure (|8*(2 - k)/3| = 3*(7 - k)/2) ≡
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2a) |8*(2 - k)/3| = - 3*(7 - k)/2 ≡
≡ (8*(2 - k)/3 = 3*(7 - k)/2) oppure (8*(2 - k)/3 = - 3*(7 - k)/2) ≡
≡ (k = - 31/7) oppure (k = 19/5)
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2b) |8*(2 - k)/3| = 3*(7 - k)/2 ≡
≡ (8*(2 - k)/3 = - 3*(7 - k)/2) oppure (8*(2 - k)/3 = 3*(7 - k)/2) ≡
≡ (k = 19/5) oppure (k = - 31/7)
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Determinare il valore di k in modo che i segmenti AB e CD siano congruenti.
Ci sono due distinti valori che soddisfanno alla consegna
* (k = - 31/7) oppure (k = 19/5)
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Per k = - 31/7
* |AB| = |CD| ≡ 120/7
* A((k - 1)/2, k) = (- 19/7, - 31/7)
* B(10 - k, k) = (101/7, - 31/7)
* C(2*k + 1, k) = (- 55/7, - 31/7)
* D((19 - 2*k)/3, k) = (65/7, - 31/7)
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Per k = 19/5
* |AB| = |CD| ≡ |24/5| = |- 24/5| = 24/5
* A((k - 1)/2, k) = (7/5, 19/5)
* B(10 - k, k) = (31/5, 19/5)
* C(2*k + 1, k) = (43/5, 19/5)
* D((19 - 2*k)/3, k) = (19/5, 19/5)
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Vedi i paragrafi "Plot of solution set" e "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-31%2F7-y%29*%2819%2F5-y%29%3D0%2C%282*x--1-y%29*%2810-x-y%29*%28%28x-1%29%2F2-y%29*%28%2819-3*x%29%2F2-y%29%3D0%5D

Nella figura di sopra è riportata solo una delle due possibili soluzioni reali.

Devi mettere a sistema ognuna delle 4 rette con y=k. Otterrai:

A[(k - 1)/2, k]

B[10 - k, k]

C[2·k + 1, k]

D[(19 - 2·k)/3, k]

Poi devi scrivere l'equazione con due valori assoluti:

AB=CD-----> ABS((10 - k) - (k - 1)/2) = ABS((19 - 2·k)/3 - (2·k + 1))

La risolvi ed ottieni :

k = - 31/7 ∨ k = 19/5    ( le altre due non sono reali)