affinità

Svolgo un punto alla volta

a) i punti uniti.

Posto x' = x & y' = y

x = - x - y - 1

y = x - 2y + 3

 

2x + y = -1

-x + 3y = 3

 

2x + y = -1

-2x + 6y = 6

-------------
// 7y = 5

y = 5/7

x = 3y - 3 = 15/7 - 21/7 = -6/7

 

Po = (-6/7; 5/7)

le rette unite

consideriamo la retta di equazione

a x + by + c = 0

e riscriviamo la trasformazione come

- x - y = x' + 1

x - 2y = y' - 3

sommando - 3y = x' + y' - 2

y = (2 - x' - y')/3

x = 2y + y' - 3 = (4 - 2x' - 2y' + 3y' - 9)/3 = (-2x' + y' - 5)/3

 

a (-x' - y' + 2)/3 + b (-2x' + y' - 5)/3 + c = 0

(-a - 2b) x' + (-a + b) y' + (2a - 5b + 3c) = 0

é la retta trasformata

essa sarà unita se

-a - 2b = a

- a + b = b

2a - 5b + 3c = c

 

b = -a

a = 0

(per cui a = b = 0))

3c = c

2c = 0

c = 0

Essendo a = b = c = 0 non ci sono rette unite.

b) sull'asse x, y = 0

x' = -x - 1

y' = x + 3

x = -x' - 1

y' = -x' - 1 + 3

y = -x + 2

sull'asse y invece x = 0

x' = -y - 1

y' = -2y + 3

 

allora y = -x' - 1

y' = 2x' + 2 + 3

y = 2x + 5

c)

(-a - 2b) x' + (-a + b) y' + (2a - 5b + 3c) = 0

é la retta trasformata

posto a = 1, b = -1, c = 0

(-1 + 2) x + (-1 - 1) y + (2 + 5) = 0

x - 2y + 7 = 0

y = 1/2 x + 7/2

 

da continuare

Per gli ultimi due punti puoi andare con il calcolo diretto,

é noioso ma semplice. Sinteticamente :

d) calcoli i trasformati dei punti A,B,C,D

mettendo le loro coordinate nelle equazioni dell'affinità.

 

d) A' = (-1,3) B' = (-2-1,2+3) = (-3,5)

C' = (-4-1,2-4+3) = (-5, 2-4+3) = (-5,1)

D' = (-2-1,-4+3) = (-3,-1)

e1) Calcoli P' e S' direttamente come 2(b + a) e b h

e2)  kP = P'/8, kS = S'/4.

 

 

e1) 2*(A'B' + A'D')/8 =

= 1/4 ( rad(4 + 4) + rad(4 + 16) ) =

= 1/4 ( 2 rad 2 + 2 rad 5 ) =

= (rad(5) + rad(2))/2

https://www.desmos.com/calculator/iqrufhflcs

e2)

S' = AB* dist(C, rAB) =

= 2 rad(2) * |-5+1-2|/rad(1+1) = 2*6 = 12

essendo per AB)

m = (5-3)/(-3+1) = 2/(-2) = -1

y = -x + q

3 = 1 + q

q = 2

x + y - 2 = 0

Infine kS = S'/S = 12/2^2 = 3.

Come prima impressione sembra un esercizio scemo d'interesse, salvo sorprese.
Sembrano vagamente interessanti i due quesiti posti dalla consegna "a" e quelli della consegna "e", gli altri sembrano da scrivere con la mano sinistra mentre con la destra si rimescola la marmellata.
Ultima noterella preliminare: non amo i simboli pluricarattere e uso la maiuscola invece dell'apice.
* (X = - x - y - 1) & (Y = x - 2*y + 3)
-----------------------------
a1) punti: (x = - x - y - 1) & (y = x - 2*y + 3) ≡ (x = - 6/7) & (y = 5/7) ≡ U(- 6/7, 5/7)
a2) rette: a*x + b*y + c = 0 → a*(- x - y - 1) + b*(x - 2*y + 3) + c = 0 ≡ (b - a)*x - (a + 2*b)*y - a + 3*b + c = 0
* (a = b - a) & (b = - (a + 2*b)) & (c = - a + 3*b + c) ≡
≡ (a = - 3*b) & (a = 3*b) ≡ impossibile
-----------------------------
b1) x = 0 → (X = - y - 1) & (Y = - 2*y + 3) ≡ (y = - X - 1) & (Y = 2*X + 5)
b2) y = 0 → (X = - x - 1) & (Y = x + 3) ≡ (x = - X - 1) & (Y = 2 - X)
che s'intersecano nel trasformato (- 1, 3) dell'origine con un angolo di
* α = arctg(|(2 - (- 1))/(1 + 2*(- 1))|) = arctg(3) ~= 1.249 rad ~= 72°
-----------------------------
c) y = x → (X = - y - y - 1) & (Y = y - 2*y + 3) ≡ (y = - (X + 1)/2) & (Y = (X + 7)/2)
-----------------------------
d) {A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2)} → {A'(- 1, 3), B'(- 3, 5), C'(- 5, 1), D'(- 3, - 1)}
NB: il fatto che le diagonali A'C' e B'D' abbiano in comune il punto medio M(- 3, 2) dice che A'B'C'D' è un parallelogramma.
http://www.wolframalpha.com/input?i=flatten%5Btable%5B%7Bx%2Cy%2C-x-y-1%2Cx-2*y%2B3%7D%2C%7Bx%2C%7B0%2C2%7D%7D%2C%7By%2C%7B0%2C2%7D%7D%5D%2C1%5D
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e1) perimetri: p = 8; P = 4*(√2 + √5) ~= 14.6; p/P = 8/(4*(√2 + √5)) = 2*(√5 - √2)/3 ~= 0.55
e2) aree: s = 4; S = 12; s/S = 1/3
P calcolato come somma delle quattro distanze.
S calcolata come somma delle aree dei due triangoli con la base B'D' in comune.