[Risolto] Punti notevoli di un triangolo

Ciao! Possiamo usare due metodi:

Metodo 1:

Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Calcoliamo la circonferenza circoscritta al triangolo che ha come vertici $A(-3;0)$, $B(1, 4)$, $C(-3; 6)$

Dalla formula generale della circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c = 0$, sostituiamo i valori di $A$, $B$ e $C$ e mettiamo queste tre condizioni a sistema, ottenendo:

$\begin{cases} 9-3a+c = 0 \\ 1+16+a+4b+c = 0 \\ 9+36-3a+6b+c = 0 \end{cases}$

Calcoliamo i risultati di questo sistema: 

$\begin{cases}  a =4 \\ b =-6 \\ c=3 \end{cases} $

quindi la circonferenza che cerchiamo è $x^2+y^2 +4x -6y +3 = 0$ che ha centro

$C = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}) = (-\frac{4}{2}; -\frac{-6}{2}) = (-2; +3) $ che è quindi il circocentro.

 

Metodo 2:

Il circocentro è il punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo. L'asse di un lato del triangolo è la retta passante per il punto medio del lato e ortogonale allo stesso.

Possiamo trovare il punto di intersezione di due assi, e sappiamo che il terzo si incontrerà nello stesso punto (altrimenti non esisterebbe il circocentro!)

Calcoliamo l'asse relativo al lato $AB$. Il punto medio del lato $AB$ si calcola facendo la media delle coordinate dei punti:

$M_{AB} = (\frac{x_A+x_b}{2}; \frac{y_A+y_B}{2} ) = (\frac{-3+1}{2}; \frac{0+4}{2})= (-1, 2)$

il coefficiente angolare della retta su cui giace il segmento $AB$ è $m_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{4-0}{1-(-3)} = \frac{4}{1+3} = 1 $

quindi quello della retta ad esso perpendicolare è $m_{asse1} = -1$ 

Allora l'asse è dato da $y-y_M = m_{asse1} (x-x_M)$

$y-2= -1(x-(-1))$
$y = -x +1$

Analogamente facciamo con l'asse del segmento $BC$ (prova a farlo tu!) e troviamo la retta:

$y = 2x+ 7$

adesso che abbiamo i due assi possiamo metterli a sistema per trovare la loro intersezione:

$\begin{cases}  y = -x +1 \\y = 2x+ 7 \end{cases} $

ottenendo

$ x = -2$

e quindi $ y = -(-2)+1 = 3$, che sono le coordinate del circoncentro (e coincidono con quello che abbiamo trovato con l'altro metodo!)

Il circumcentro O(x, y) del triangolo ABC è l'UNICO punto del piano equidistante dai tre vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
quindi è definito dal sistema
* |OA| = |OB| = |OC| ≡
≡ |OA|^2 = |OB|^2 = |OC|^2 ≡
≡ (|OA|^2 = |OB|^2) & (|OB|^2 = |OC|^2) ≡
≡ ((a - x)^2 + (p - y)^2 = (b - x)^2 + (q - y)^2) & ((b - x)^2 + (q - y)^2 = (c - x)^2 + (r - y)^2) ≡
≡ ((a - b)*(a + b - 2*x) + (p - q)*(p + q - 2*y) = 0) & ((b - c)*(b + c - 2*x) + (q - r)*(q + r - 2*y) = 0) ≡
≡ la soluzione in (x, y) esiste ed è unica se ABC non è degenere, ma è di scrittura così malagevole da non valere la pena di dattilografarla qui; conviene invece specializzare e risolvere il sistema caso per caso, con valori numerici al posto delle coordinate simboliche.
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NEL CASO IN ESAME
Con
* A(a, p) = (- 3, 0)
* B(b, q) = (1, 4)
* C(c, r) = (- 3, 6)
si ha
* ((a - b)*(a + b - 2*x) + (p - q)*(p + q - 2*y) = 0) & ((b - c)*(b + c - 2*x) + (q - r)*(q + r - 2*y) = 0) ≡
≡ ((- 3 - 1)*(- 3 + 1 - 2*x) + (0 - 4)*(0 + 4 - 2*y) = 0) & ((1 - (- 3))*(1 + (- 3) - 2*x) + (4 - 6)*(4 + 6 - 2*y) = 0) ≡
≡ (8*(x + y - 1) = 0) & (- 4*(2*x - y + 7) = 0) ≡
≡ (x = - 2) & (y = 3)
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CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%28-3%2C0%29%281%2C4%29%28-3%2C6%29circumcenter