451 massimi e minimi

a. 

$ y = \frac{x}{x-2} $

Si tratta di una funzione omografica

$ y = \frac{ax+b}{cx+d} $

cioè una iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani. In questo caso il centro di simmetria è dato da

C(-d/c, a/c) = C (2/1, 1/1) = C(2, 1)

b. Coordinate del punto P

equazione della retta r: passante per l'origine  e coefficiente angolare m. r: y=mx

Punti di intersezione retta/iperbole risolvendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= \frac{x}{x-2} \\ y &= mx \end{aligned} \right. $

per confronto

$ \frac{x}{x-2} = m x$   x = 0 è la soluzione nota. Se x ≠ 0 possiamo semplicare

$ \frac{1}{x-2} = m $

$ x = \frac{1+2m}{m} \;  ⇒ \; y = 2m+1 $  quindi P((2m+1)/m, 2m+1)

Calcoliamo la distanza d(P, C). Noi non siamo interessati a conoscere la distanza ma solo per quale valore di m la distanza è minima. Osserviamo che se d(P,C) è minima lo sarà anche il suo quadrato; allora minimizziamo il quadrato. Cosa non si fa per eliminare una radice.

$ d^2(P, C) = (P_x - C_x)^2 + (P_y - C_y)^2 $

$ d^2(P, C) = (\frac{1+2m}{m} -2)^2 + (2m+1-1)^2 $

$ d^2(P, C) = 4m^2 + \frac{1}{m^2} $

Il minimo è un punto stazionario annulliamo quindi la derivata prima. 

$ D(d^2(P, C)) = 8m - \frac{2}{m^3} = 0 \; ⇒ \; 4m^4 = 1 \; ⇒ \; m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ora dobbiamo dimostrare che si tratta di un minimo e non di un massimo o di un flesso orizzontale. Lo faremo calcolando la derivata seconda

$ D^{(2)} (d^2(P, C)) = 8 + \frac{6}{m^4} $

La derivata seconda è positiva, per ogni valore di m. E' quindi un minimo.