4° Esercizio: quadrilatero bicentrico

@gregorius Ho visto la tua soluzione, grazie alla quale ho scoperto l'esistenza della formula di Brahmagupta e del teorema di Tolomeo. Entrambi i risultati sono semplici da dimostrare (Brahmagupta si può ricavare con il teorema del coseno e nozioni di base di goniometria, mentre Tolomeo con un triangolo ausiliario e angoli alla circonferenza). Quando avrò tempo (se sarò in grado), proverò a dimostrare la formula di Fuss. La disuguaglianza di Durande-Steiner è semplice da dimostrare:

Detto $r$ il raggio della circonferenza, sappiamo che l'area $\mathcal{A}$ di $ABCD$ è esattamente:

$\mathcal{A}=rp \implies r =\dfrac{\mathcal{A}}{p}$, dove $p=\dfrac{a+b+c+d}{2}$.

Ci interessa dimostrare che $R \geq \sqrt{2} \cdot r$. È chiaro che $R>r$ (perché altrimenti la circonferenza inscritta non potrebbe intersecare il quadrilatero in nessun punto), dobbiamo dimostrare che nel caso in cui $r$ è massimo, allora $R=r\sqrt{2}$. $r$ è massimo quando $\mathcal{A}$ è massima (fissato il perimetro). Il quadrilatero con area massima a parità di perimetro è un quadrato (ciò lo si dimostra facilmente, prima si dimostra che il quadrilatero isoperimetrico di area massima è ciclico, e poi che deve avere lati di uguale lunghezza) quindi ipotizziamo che $a=b=c=d$. Ne segue che $r=\sqrt{\dfrac{(\frac{p}{2})^4}{p^2}}=\dfrac{p}{4}=$. Dato che $p=2\sqrt{2} \cdot R$, ricaviamo alla fine che $R=r\sqrt{2}$. Si è così dimostrato che $R \geq r\sqrt{2}$.

@gregorius 👍 👍 👍

La risposta non mi piace: troppi calcoli.

@gabo Stai procedendo in modo corretto. Tutte le soluzioni che hai trovato sono giuste. 👍 👍 Il problema non è semplice ed è normale che i calcoli risultino astrusi. Continua sei sulla strada giusta

@gabo Prendo spunto dalla tua affermazione"...ho scoperto l'esistenza della formula di Brahmagupta e del teorema di Tolomeo. Entrambi i risultati sono semplici da dimostrare". Proprio perchè sono formule dello stesso ordine di difficoltà di quella di Erone mi sono sempre chiesto per quale motivo i testi di geometria del liceo scientifico non ne facciano menzione. Normalmente se ne viene a conoscenza quasi per caso all'università e solo in casi molto specifici. E' un peccato perchè sono formule pratiche e di facile comprensione. Per quanto concerne la tua dimostrazione posso commentarla solo dicendo che hai fatto un ottimo lavoro che dimostra il tuo notevole interesse per la materia e altrettanta abilità nel maneggiare tale disciplina. Avanti così! Chapeau!

@gregorius Grazie mille per le parole d'incoraggiamento. Per quanto riguarda il tuo disappunto per le scelte degli argomenti insegnati nel programma di matematica al liceo, posso dire che trovo un po' arbitrario il livello di difficoltà e di rilevanza del materiale di approfondimento che gli autori scelgono. Ad esempio sul mio libro di matematica ci sono alcune applicazioni per la fisica, interessanti, ma non sarebbe più sensato mettere delle curiosità matematiche su un libro di matematica? Nel mio libro di fisica, invece, ci sono delle pagine dedicate alla sperimentazione con Arduino, che io utilizzo per alcuni progetti personali. Sebbene i progetti proposti dal libro siano molto interessanti, rimane comunque un libro di fisica (non è assolutamente scontato che un ragazzo del liceo scientifico tradizionale abbia un Arduino). Io avrei usato quelle pagine per dimostrare alcune delle formule che il libro non dimostra perché magari richiedono conoscenze matematiche un po' più in là (ad esempio, la dimostrazione della formula per calcolare il lavoro compiuto in una trasformazione isoterma $L=nRT\ln \left ( \dfrac{V_f}{V_i} \right )$, che è un semplice integrale). Non pretendo che si insegnino cose "in più" nel programma scolastico, dal momento che a malapena si riesce a fare la metà di quello che si dovrebbe fare (inspiegabile come si fallisca così pietosamente con questa costanza), però includere materiale interessante relativo alla materia potrebbe motivare chi è curioso ad interessarsi ancora di più. Stiamo sbagliando tutto. Pensavo di aprire un canale di matematica su cui caricare video nello stile di 3b1b (se capisci l'inglese è un canale stupendo), anche se non ho un team di persone che può aiutarmi, la mia esperienza con Python dovrebbe permettermi di creare video decenti. Mi piacerebbe dedicare alcuni video ad argomenti curriculari (tutti gli argomenti che ho fatto finora, dalle medie alle superiori), altri ad approfondimenti (muoio dall'idea di fare un video sugli Elementi di Euclide, su Cardano, o sulla genialità di Archimede).

Un'altra cosa che ho notato è che gli insegnanti decenti sono pochissimi. Una mia amica che va in primo anno ha serie difficoltà con il calcolo letterale, e mi ha stupito sapere che non è l'unica nella sua classe e nelle altre classi prime. Non si insegnano più le operazioni tra monomi alle scuole medie? Pochissimi apprezzano la matematica, ancora di meno la capiscono davvero (c'è differenza tra saper risolvere un esercizio di matematica e sapere la matematica), forse è per il fatto che si insegnano procedure meccaniche? Sul mio libro ci sono pagine dedicate a come risolvere un triangolo che vanno in dettaglio su ogni casistica e ogni possibile variabile. È questo che non mi piace, un approccio meccanico "a passaggi" per risolvere ogni esercizio. Così, in che modo siamo diversi da semplici calcolatrici? La matematica per me è molto di più di fare calcoli, significa chiedersi domande profonde e cercare risposte in lungo e in largo. Perché insegnamo la matematica a dei ragazzi come se stessimo programmando un computer? Che delusione, che pena. Perdona lo sproloquio, volevo dare sfogo alle mie frustrazioni.