2 curve tangenti. Come??

y = x^4 - 6·x^2 + 6

V(0, 2) è il vertice della parabola ad asse verticale:

y=ax^2+bx+c

ed indica due cose:

1) la funzione è pari . Quindi b=0

2) passa per V: quindi c =2

per cui la parabola è del tipo: y = a·x^2 + 2

Poniamo a sistema:

{y = a·x^2 + 2

{x^4 - 6·x^2 + 6 = a·x^2 + 2

che risolviamo con la posizione:

x^2 = t

t^2 - 6·t + 6 = a·t + 2

t^2 - t·(a + 6) + 4 = 0

Condizione di tangenza:

Δ = 0---> (a + 6)^2 - 4·4 = 0

a^2 + 12·a + 20 = 0----> (a + 2)·(a + 10) = 0

a = -10 ∨ a = -2 

Per a = -10:

t^2 - t·(-10 + 6) + 4 = 0

t^2 + 4·t + 4 = 0---> (t + 2)^2 = 0

quindi: t = -2 che non è accettabile (x^2 = -2)

Per a =-2

t^2 - t·(-2 + 6) + 4 = 0---> t^2 - 4·t + 4 = 0

Quindi: (t - 2)^2 = 0

che porta alla soluzione:

t = 2---> x^2 = 2---> x = - √2 ∨ x = √2

che sono le ascisse dei punti di tangenza A e B di figura

Parabola: y = 2 - 2·x^2

"2 curve tangenti. Come??" pari pendenza in almeno un punto comune.
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Equazioni e punti comuni
* α ≡ y = x^4 - 6*x^2 + 6
* β ≡ y = 2 + a*x^2
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Il sistema
* α & β ≡ (y = x^4 - 6*x^2 + 6) & (y = 2 + a*x^2) & (a,x,y ∈ R)
ha risolvente
* x^4 - (a + 6)*x^2 + 4 = 0 ≡
≡ u^2 - (a + 6)*u + 4 = 0 ≡
≡ u = (a + 6 ± √((a + 10)*(a + 2)))/2 ≡
≡ x = ± √((a + 6 ± √((a + 10)*(a + 2)))/2) →
→ y = 2 + a*(a + 6 ± √((a + 10)*(a + 2)))/2
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Dei punti comuni P(x, y) sono reali solo quelli con entrambi i discriminanti non negativi
* ((a + 10)*(a + 2) >= 0) & ((a + 6 - √((a + 10)*(a + 2)))/2 >= 0)
oppure
* ((a + 10)*(a + 2) >= 0) & ((a + 6 + √((a + 10)*(a + 2)))/2 >= 0) ≡
≡ (a >= - 2) oppure (a >= - 2) ≡
≡ a >= - 2
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Pendenze
* α: m(x) = 4*x*(x^2 - 3)
* β: m(x, a) = 2*a*x
* 4*x*(x^2 - 3) = 2*a*x ≡ (x = - √(a/2 + 3)) oppure (x = 0) oppure (x = √(a/2 + 3))
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A pesca di risultati in dodici tentativi (quanti le tribù di Israele, i patriarchi, gli apostoli, ...)
A0) (- √((a + 6 - √((a + 10)*(a + 2)))/2) = - √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ a = - 2
A1) (- √((a + 6 + √((a + 10)*(a + 2)))/2) = - √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ a = - 2
A2) (+ √((a + 6 - √((a + 10)*(a + 2)))/2) = - √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ impossibile
A3) (+ √((a + 6 + √((a + 10)*(a + 2)))/2) = - √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ impossibile
B0) (- √((a + 6 - √((a + 10)*(a + 2)))/2) = 0) & (a >= - 2) ≡ impossibile
B1) (- √((a + 6 + √((a + 10)*(a + 2)))/2) = 0) & (a >= - 2) ≡ impossibile
B2) (+ √((a + 6 - √((a + 10)*(a + 2)))/2) = 0) & (a >= - 2) ≡ impossibile
B3) (+ √((a + 6 + √((a + 10)*(a + 2)))/2) = 0) & (a >= - 2) ≡ impossibile
C0) (- √((a + 6 - √((a + 10)*(a + 2)))/2) = √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ impossibile
C1) (- √((a + 6 + √((a + 10)*(a + 2)))/2) = √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ impossibile
C2) (+ √((a + 6 - √((a + 10)*(a + 2)))/2) = √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ a = - 2
C3) (+ √((a + 6 + √((a + 10)*(a + 2)))/2) = √(a/2 + 3)) & (a >= - 2) ≡ a = - 2
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Salpare le reti (Simon Pietro & C ci trovarono "centocinquantatré grossi pesci"; Gv [21, 1-14])
A0, A1, C2, C3 dicono: (a = - 2) & (x = ± √2) & (y = - 2).
Quindi
* β ≡ y = 2*(1 - x^2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-6%3Dx%5E4-6*x%5E2%2Cy%3D2*%281-x%5E2%29%5D