Impara come trovare l’equazione di una circonferenza conoscendo un punto, due punti o tre punti. Nella lezione successiva puoi troverai altre condizioni per trovare l’equazione di una circonferenza.
Appunti
Quali e quante sono le condizioni necessarie per trovare l’equazione di una circonferenza? Basta il passaggio per uno, due o tre punti? Non preoccuparti! Hai trovato la lezione giusta!
In questa lezione imparerai:
- circonferenza per tre punti
- circonferenza per due punti
- circonferenza per un punto
Prerequisiti per imparare come trovare l’equazione di una circonferenza dati uno, due o tre punti
I prerequisiti per imparare come trovare l’equazione di una circonferenza dati uno, due o tre punti sono:
- equazione della circonferenza
- grafico della circonferenza
Circonferenza per tre punti
Vediamo come trovare l’equazione di una circonferenza se conosciamo alcune sue caratteristiche. L’equazione generale di una circonferenza è $x^2+y^2+a x+b y+c=0$
Per poter determinare i tre coefficienti $a, b, c$ servono tre condizioni. Sappiamo che per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Allora, se conosciamo le coordinate di tre punti, possiamo scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite (i coefficienti $a, b, c$ ) sostituendo le loro coordinate alla $x$ e alla $y$ della circonferenza.
Circonferenza per due punti
Complichiamo un po’ le cose! Per trovare l’equazione della circonferenza abbiamo ora queste informazioni: la circonferenza passa per due punti $P$ e $Q$, e il suo centro $C$, di cui non conosciamo le coordinate, si trova su una retta $s$.
Il passaggio per $P$ e $Q$ ci porta alle condizioni che ormai conosciamo bene: sostituendo le loro coordinate nell’equazione della circonferenza, abbiamo due condizioni.
E la terza condizione?
Ricordiamo che le coordinate del centro di una circonferenza sono $C\left(-\frac{a}{2} ;-\frac{b}{2}\right)$
Se sappiamo che $C$ appartiene alla retta $s$, allora le sue coordinate, sostituite alla $x$ e alla $y$ della retta, devono rendere vera l’uguaglianza (cioè soddisfarne l’equazione).
Allora, sostituiamo le coordinate di $C$ nell’equazione della retta, ottenendo I’ultima condizione sui coefficienti!
Circonferenza per un punto
Vogliamo ora trovare i coefficienti $a, b, c$ dell’equazione di una circonferenza, sapendo che passa per il punto e che il centro è $C$.
È un caso semplice e può essere affrontato in due modi:
- Il segmento $\overline{P C}$ è un raggio della circonferenza.
Se calcoliamo la sua lunghezza possiamo usare poi la formula della circonferenza dati centro e raggio e risolvere così il problema - La conoscenza delle coordinate del centro corrisponde a due condizioni sui coefficienti e il passaggio per $P$ dà la terza condizione
Possiamo quindi impostare il sistema di tre equazioni nelle tre incognite $a, b, c$ e scrivere poi l’equazione della circonferenza cercata.