Scopri il teorema fondamentale dell’aritmetica e a cosa servono i numeri primi e perché sono fondamentali nella scomposizione dei numeri naturali.
Impara come calcolare il Massimo Comune Divisore (il più grande tra i divisori comuni a due numeri) e il minimo comune multiplo (il più piccolo fra i multipli comuni a due numeri).
Appunti
In matematica, i teoremi sono importanti. Ma questo forse lo è più di altri: il teorema fondamentale dell’aritmetica. Già dal nome capiamo che è importante sapere cosa dice. Il teorema mette in luce l’importanza dei numeri primi in aritmetica.
Ma cosa dice il teorema fondamentale dell’aritmetica? Ogni numero naturale ( $>1$ ) si può scrivere in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi.
Questo “scrivere come prodotto” in matematica si chiama scomporre.
Ma per scomporre i numeri bisogna dividerli. Ecco quindi che entrano in gioco due grandi amici:
- Massimo Comune Divisore (M.C.D.): il più grande tra i divisori comuni a due numeri.
- minimo comune multiplo (m.c.m): il più piccolo fra i multipli comuni a due numeri.
Questi due ti accompagneranno in tutto il tuo percorso matematico.
Per questo è meglio che impari subito a conoscerli e a farteli amici: ti aiuteranno!
Prerequisiti per imparare la scomposizione in fattori primi, M.C.D. e m.c.m.
I prerequisiti per imparare la scomposizione in fattori primi, M.C.D. e m.c.m. sono:
- moltiplicazione e divisione in $N$
- potenze
- numeri primi e divisibilità.
Scomposizione in fattori primi
Perché i i numeri primi sono così importanti? Tutti i numeri naturali ( $>1$ ) sono rappresentabili, in un unico modo, come prodotto di potenze di numeri primi. Questo è l’enunciato del teorema fondamentale dell’aritmetica!
II teorema è molto importante perché:
- ci dà la conferma dell’importanza dei numeri primi;
- serve per semplificare la divisione e la moltiplicazione.
Massimo comun divisore
Quali numeri dividono 4 e 12 ? Beh sicuramente il 2 . Ma è l’unico? No, certo, c’è anche il 4. Altri? Questa volta abbiamo finito. E abbiamo che il 4 è il più grande divisore di 4 e 12 . Allora diciamo che è il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) infatti:
- Massimo perché è il più grande
- Comune perché divide entrambi i numeri
- Divisore perché il resto della divisione (intera) è 0
Come si calcola il M.C.D.? Per calcolare il Massimo Comun Divisore basta scomporre i numeri in fattori primi, e moltiplicare tra loro i fattori comuni presi con l’esponente minore.
E se due numeri non hanno fattori comuni? In questo caso, il loro Massimo Comun Divisore è 1 e i numeri sono primi tra loro.
Minimo comune multiplo
Come si chiama il più piccolo numero che è multiplo di due numeri naturali? È il minimo comune multiplo (m.c.m). Perché si chiama così? Vediamo:
- minimo perché è il più piccolo
- comune perché vale per tutti i numeri considerati
- multiplo perché è divisibile per i numeri considerati
Come calcolare il minimo comune multiplo? È molto semplice: basta scomporre i numeri in fattori primi e poi moltiplicare tutti i fattori, comuni e non, presi una sola volta con l’esponente maggiore.
Ad esempio, il m.c.m. di $15=3 \cdot 5$ e $25=5^2$ è $75=$ $3 \cdot 5^2$ perché abbiamo preso tutti i fattori comuni e non ( 3 e 5 ) con l’esponente maggiore.