Cosa succede se moltiplichi un numero per se stesso? Hai il suo quadrato! E se lo fai più volte? Ecco che hai la potenza di quel numero! Le potenze servono per scrivere le moltiplicazioni più velocemente, ma non solo…
Scopri le cosa sono le potenze e impara a usare le proprietà delle potenze con i numeri naturali dell’insieme $N$ (tutti i numeri interi non negativi)
Appunti
Ora che hai imparato tutte le caratteristiche dell’addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri naturali, scopri come calcolare una potenza e quali sono le proprietà delle potenze di numeri naturali!
Qual è il concetto di potenza? Elevare un numero $(a)$ alla potenza $b$ significa moltiplicare il numero per se stesso $b$ volte. Quindi ad esempio 3 alla quinta è uguale a $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
Il fattore che si ripete $a$ è la base e $b$, il numero che indica quanti sono i fattori, è l’esponente (grado della potenza). Se $a$ è la base e $b$ è l’esponente $\left(b>0\right.$ ), l’operazione di elevamento a potenza si scrive $a^b$ e si legge ” $a$ elevato alla $b$ “. Se eleviamo un numero naturale a una potenza (che è ancora un naturale) otteniamo ancora un numero naturale. La potenza è un’operazione interna in $N$
Ecco alcuni casi particolari di elevamento a potenza:
- $a^1=a$ : per ogni numero naturale $a, 1$ è l’ elemento neutro dell’elevamento a potenza;
- $a^0=1$, se $a \neq 0$;
- $0^0$ non ha significato.
Le potenze sono importanti anche perché hanno molte proprietà che semplificano i conti. Le proprietà delle potenze sono:
Potenze con la stessa base
- Prodotto: stessa base, esponente la somma degli esponenti: $\left(a^m\right) \cdot\left(a^n\right)=a^{m+n}$;
- Quoziente: stessa base, esponente differenza degli esponenti (con il primo esponente $\geq$ del secondo e base $\neq 0):\left(a^m\right):\left(a^n\right)=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
Potenze con lo stesso esponente:
- Prodotto: base è il prodotto delle basi, stesso esponente: $\left(a^m\right) \cdot\left(b^m\right)=(a \cdot b)^m$;
- Quoziente: base è il quoziente delle basi, stesso esponente (con seconda base $\neq 0):\left(a^m\right):\left(b^m\right)=\frac{a^m}{b^m}=$ $\left(\frac{a}{b}\right)^m=(a: b)^m$
Potenza di potenza: stessa base, esponente uguale al prodotto degli esponenti: $\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}$
Prerequisiti per imparare l’elevamento a potenza in $N$
I prerequisiti per imparare l’elevamento a potenza in $N$ sono:
Cos’è una potenza
Cosa succede se moltiplichiamo per se stesso un numero? Abbiamo una potenza! Quindi le potenze sono un modo più veloce per scrivere le moltiplicazioni di uno stesso numero più volte.
Ad esempio 4 per 4 per 4 lo scriviamo come $4^3$. II numero che viene moltiplicato per se stesso è la base, mentre il numero di volte per cui la base viene moltiplicata è l’esponente, e si scrive in alto a destra. Nel nostro esempio, il 4 è la base e il 3 è l’esponente.
Quali sono le proprietà delle potenze
Le potenze servono per velocizzare i calcoli. Ma questo è possibile grazie alle proprietà delle potenze! Ma quali sono? Vediamole:
- prodotto di due potenze con la stessa base $=$ stessa base e la somma degli esponenti: $2^3 \cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$ – quoziente di due potenze con la stessa base = stessa base e la differenza degli esponenti: $\frac{2^4}{2^3}=$ $2^{4-3}=2^1$
- prodotto di due potenze con lo stesso esponente = prodotto delle basi e stesso esponente: $2^4 \cdot 3^4=(2$. $3)^4=6^4$
- quoziente di due potenze con lo stesso esponente $=$ quoziente delle basi e stesso esponente $\frac{6^2}{3^2}=$ $\left(\frac{6}{3}\right)^2=2^2$
- potenza di potenza = stessa base, esponente uguale al prodotto degli esponenti $\left(2^3\right)^4=2^{12}$
Guarda gli esempi delle proprietà delle potenze e allenati con gli esercizi: diventa una potenza!