Problema : Siano A(a,b) B(c,b) con c>a due punti dati su una retta orizzontale di equazione y=b. Trovare il punto medio M tra A e B utilizzando una sola circonferenza.
Sviluppo :
1) Considerare la circonferenza C1 di centro A e raggio r1=(c-a)/2 e intersecare la retta di equazione x=a alla circonferenza C1.Si ottengono i seguenti punti:
C(a,[2b+c-a]/2 ) D(a,[2b-c+a]/2)
2)Considerare la circonferenza C2 di centro B e raggio r2=(c-a)/2 e intersecare la retta di equazione x=c alla circonferenza C2.Si ottengono i seguenti punti:
E(c,[2b-c+a]/2) F(c,[2b+c-a]/2)
3) I punti C,D,E,F sono i vertici di un quadrato di lato L=AB=c-a . Infatti CD=DE=EF=FC=L
Inoltre, essendo CD^2+ED^2=EC^2, si ha che i punti C,D,E sono vertici di un triangolo rettangolo con angolo retto in D ,con cateti CD e ED e ipotenusa EC. Pertanto,ponendo M il centro della circonferenza C3 passante per i punti C,D,E si ha che M corrisponde con il CIRCOCENTRO del triangolo rettangolo prima definito.
La circonferenza C3 ha equazione
x^2+y^2+(-c-a)x+(-2*b)+[-(c^2-6*a*c-4*b^2+a^2)/4]=0
di centro M((c+a)/2;b) e raggio r3=[(c-a)*sqrt(2)]/2
dove r3 = EC/2 = DF/2
NB La circonferenza richiesta nella traccia del problema è data dall’equazione di C3 con raggio r3.