Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ derivabili, con derivata continua, in un intervallo $[a ; b],$ consideriamo la derivata del loro prodotto:
$$ \mathrm{D}[f(x) \cdot g(x)]=f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x) $$
Integriamo entrambi i membri:
$$ \begin{array}{l} \int \mathrm{D}[f(x) \cdot g(x)] d x=\int\left[f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x)\right] d x \ f(x) \cdot g(x)=\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x+\int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x \end{array} $$
Isolando $\int f(x) g^{\prime}(x) d x,$ otteniamo:
$$ \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x $$ detta formula di integrazione per parti.
La formula è utile nei casi in cui la funzione integranda si può pensare come prodotto di due fattori. $f(x)$ viene chiamato fattore finito e $g^{\prime}(x) d x$ fattore differenziale.
Nell’applicazione della formula, una delle due funzioni, quella del fattore finito, viene soltanto derivata, mentre l’altra, quella del fattore differenziale, viene solo integrata. É quindi importante scegliere opportunamente i due fattori.
ESEMPIO
Abbiamo scelto $x dx$ come fattore differenziale in quanto sappiamo calcolare la primitiva di $x .$ Del fattore finito $\ln x$ sappiamo calcolare la derivata, che si semplifica con la primitiva di $x$, in modo da ottenere un integrale semplice da calcolare.
Al secondo membro della formula compare un altro integrale, quindi questo metodo di integrazione risulta utile se riusciamo a passare da un integrale più difficile a uno più facile da calcolare.
ESEMPIO
Calcoliamo $\int x \operatorname{sen} x d x$ Sappiamo calcolare sia la derivata sia la primitiva di entrambe le funzioni. La scelta migliore è quella di derivare $x$, perché l’integrale si semplifica:
Se scegliamo, invece, sen $x$ come fattore finito, otteniamo:
$$
\int x \operatorname{sen} x d x=\frac{x^{2}}{2} \operatorname{sen} x-\int \frac{x^{2}}{2} \cos x d x
$$
dove l’integrale a secondo membro è più complicato di quello di partenza.
In generale, negli integrali del tipo $$ \int x^{n} \operatorname{sen} x d x, \quad \int x^{n} \cos x d x, \quad \int x^{n} e^{x} d x $$ $x^{n}$ si considera come fattore finito, mentre negli integrali del tipo $$ \int x^{n} \ln x d x, \quad \int x^{n} \operatorname{arctg} x d x, \quad \int x^{n} \operatorname{arcsen} x d x $$ $x^{n} d x$ si considera come fattore differenziale. In particolare, negli integrali $$ \int \ln x d x, \quad \int \operatorname{arctg} x d x, \quad \int \operatorname{arcsen} x d x $$ si considera come fattore differenziale $x^{0} d x,$ ossia $1 d x$
ESEMPIO
$$ \int \ln x d x=\int 1 \ln x d x=x \ln x-\int x \cdot \frac{1}{x} d x=x \ln x-x+c $$