Se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione.
In una formula, detti $A$ e $B$ gli estremi della corda:
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A B=2 r \sin (\theta)
$$
$r$ รจ la misura del raggio e $\theta$ รจ l’angolo che insiste sulla corda $A B$.
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo $A \operatorname{con} D$ e $B \operatorname{con} C$. Indichiamo con $\alpha$ langolo $D \hat{A} B$, con $\gamma$ l’angolo $D \hat{C} B$, con $\beta$ l’angolo $A \hat{E} D$ e $\operatorname{con} \beta^{\prime}$ l’angolo $C \widehat{E} B$.
I triangoli $A E D$ e $B E C$ hanno:
- $\beta \cong \beta^{\prime}$ perchรฉ angoli opposti al vertice;
- $\alpha \cong \gamma$ perchรฉ angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco $\widehat{D B}$.
Quindi i triangoli $A E D$ e $B E C$ sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli.
I lati omologhi sono $A E$ e $C E, E D$ ed $E B, A D$ e $B C$, pertanto รจ soddisfatta la proporzione:
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A E: C E=E D: E B
$$