Probabilità di un evento

Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramente non possono mai verificarsi. Per esempio, se una scatola contiene soltanto palline nere, estraendone una a caso siamo sicuri che è nera, mentre è impossibile estrarre una pallina bianca. Chiamiamo gli avvenimenti del primo tipo eventi certi e quelli del secondo tipo eventi impossibili.

Ci sono anche eventi che possono accadere, ma senza certezza. Se la scatola contiene sia palline bianche sia palline nere, l’estrazione di una pallina bianca è un evento possibile ma non certo, così come l’estrazione di una pallina nera. In altre parole, non possiamo prevedere il colore della pallina estratta, perché l’estrazione è casuale.

Un fatto che può accadere o non accadere in modo casuale è detto evento aleatorio. Per esempio, essere interrogati in matematica nell’arco di una settimana di lezioni è un evento aleatorio. È opportuno osservare che uno stesso evento può essere certo, aleatorio o impossibile a seconda del contesto in cui viene considerato.

ESEMPIO: L’evento «Giovanni vince alla lotteria» è certo se Giovanni compra tutti i biglietti della lotteria, è impossibile se non ne compra nemmeno uno, è aleatorio se ne compra uno o più di uno, ma non tutti.

Il fatto che certi eventi siano aleatori ha portato l’uomo a formulare scommesse sul loro accadere. Il concetto di probabilità è nato proprio per effetto dei giochi d’azzardo! Consideriamo il seguente gioco. Hai di fronte due mazzi di carte, $A$ e $B$, così composti: $A$ contiene 10 carte con figure e 3 carte senza figure; $B$ è formato da 12 carte con figure e 6 senza figure.

Devi scegliere una carta da uno dei due mazzi: vinci se scegli una figura. Da quale mazzo conviene scegliere la carta? Il gioco è interpretabile come un esperimento che ha carattere aleatorio, in quanto il risultato non dipende da una legge precisa ma, di volta in volta, è imprevedibile. Se le carte non sono truccate, le estrazioni di una carta dai due mazzi sono tutte ugualmente possibili, poiché le carte sono coperte e non possiamo distinguerle l’una dall’altra.

Chiamiamo casi possibili tutti i risultati che possono verificarsi. Per il mazzo $A$ i casi possibili sono 13, mentre per il mazzo $B$ sono 18. Chiamiamo casi favorevoli quelli in cui si verifica l’evento che fa vincere. Poiché per vincere bisogna estrarre una figura, i casi favorevoli sono tanti quante le carte con figure: 10 per il mazzo $A$ e 12 per il mazzo $B$. Consideriamo il rapporto fra i casi favorevoli e quelli possibili:


$\operatorname{mazzo} A: \frac{10}{13} ; \quad$ mazzo $B: \frac{12}{18}$


Poiché $\frac{10}{13}$ è maggiore di $\frac{12}{18}$, conviene scegliere il mazzo $A !$


Il quoziente $\frac{\text { numero dei casi favorevoli }}{\text { numero dei casi possibili }}$ fornisce una stima sulla possibilità che si verifichi un determinato evento e viene chiamato probabilità di quell’evento.

La probabilità di un evento è il quoziente fra il numero dei casi favorevoli $f$ e quello dei casi possibili $u$, quando essi sono tutti ugualmente possibili.

$$
P(E)=\frac{\text { casi favorevoli }}{\text { casi possibili }}
$$

Esempio di probabilità di un evento

Nel lancio di un dado a sei facce consideriamo i seguenti eventi

$E_{1}=$ «esce il $4 » ; \quad E_{2}=$ «esce un numero dispari»;

$E_{3}=$ «esce un numero maggiore di $2 »$.

Calcoliamo la probabilità di ciascun evento nell’ipotesi che il dado non sia truccato:

$p\left(E_{1}\right)=\frac{1}{6}$ (casi possibili 6, casi favorevoli 1$)$;

$p\left(E_{2}\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (casi favorevoli: numeri $\left.1,3,5\right)$;

$p\left(E_{3}\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}($ casi favorevoli: numeri $3,4,5,6)$

I valori della probabilità

Indichiamo con $u$ il numero dei casi possibili e $f$ il numero dei casi favorevoli.

  • Se un evento è impossibile, il numero dei casi favorevoli è 0 ; quindi
    $$
    p=\frac{f}{u}=\frac{0}{u}=0
    $$
    Pertanto la probabilità di un evento impossibile è $\mathbf{0}$.

  • Se un evento è certo, il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei casi possibili; quindi
    $$
    p=\frac{f}{u}=\frac{u}{u}=1
    $$
    La probabilità di un evento certo è $1 .$

  • Per gli eventi aleatori, il numero $f$ dei casi favorevoli è compreso fra 0 e u: $0<f<u$. Dividendo tutti i termini della doppia disuguaglianza per $u$, si ottiene:
    $$
    \frac{0}{u}<\frac{f}{u}<\frac{u}{u}, \quad \text { ossia } \quad 0<p<1 .
    $$
    Pertanto la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso fra 0 e 1 .

In generale, considerando assieme i tre casi, possiamo dire che la probabilità di un evento è compresa fra 0 e 1, estremi inclusi: $\mathbf{0} \leq \boldsymbol{p} \leq \mathbf{1}$.

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