DEFINIZIONE Permutazioni con ripetizione
Le permutazioni con ripetizione di $n$ elementi, di cui $h, k, \ldots$ ripetuti, sono tutti i gruppi formati dagli $n$ elementi che differiscono per l’ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti:
$$
P_{n}^{(h, k, \ldots)}=\frac{n !}{h ! \cdot k ! \cdot \ldots}
$$
ESEMPIO 1
Calcoliamo quanti anagrammi (anche privi di significato) si possono formare con le lettere della parola TETTO. Pensiamo per il momento che le tre $\mathrm{T}$ non siano uguali. Se calcoliamo la permutazione $P_{5}$ di 5 elementi, consideriamo come diverse anche le parole che differiscono soltanto per la posizione delle tre $\mathrm{T}$. Per esempio, mettendo la E e la O nelle prime due posizioni, con le permutazioni sono distinte le parole:
EOTTT, EOTTT, EOTTT, EOTTT, EOTTT, EOTTT.
Abbiamo 6 casi diversi, corrispondenti alle permutazioni delle tre T colorate:
$$
3 !=6
$$
Questi casi sono invece indistinguibili, e uguali a EOTTT, se consideriamo la T come lettera ripetuta più volte. Se consideriamo le 120 permutazioni di 5 lettere, in questo caso troviamo ogni raggruppamento ripetuto 6 volte. Quindi per ottenere il numero degli anagrammi di TETTO dobbiamo dividere 120 per 6:
$$
\frac{120}{6}=20
$$
Per indicare che dei cinque elementi tre corrispondono a uno stesso elemento ripetuto usiamo il simbolo $P_{5}^{(3)}$, che si legge: «permutazioni di 5 elementi di cui 3 ripetuti». Abbiamo che:
$$
P_{5}^{(3)}=\frac{P_{5}}{P_{3}}=\frac{5 !}{3 !}=20
$$
Chiamiamo i raggruppamenti di questo tipo permutazioni con ripetizione. In generale:
$$
P_{n}^{(k)}=\frac{n !}{k !}
$$
La formula si generalizza ulteriormente quando nell’insieme di $n$ elementi gli elementi ripetuti sono $k, h, \ldots, r$, dove
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k+h+\ldots+r \leq n
$$
ESEMPIO 2
Calcoliamo il numero dei modi in cui cinque sedie possono essere occupate da tre persone.
Dobbiamo calcolare il numero delle permutazioni di 5 elementi, con 3 distinti e 2 ripetuti (le due sedie vuote), quindi:
$$
P_{5}^{(2)}=\frac{5 !}{2 !}=5 \cdot 4 \cdot 3=60
$$