Si definisce pendenza di una retta la tangente dell’angolo $\alpha$ che la retta forma con il piano orizzontale. In pratica esprime l’inclinazione della retta rispetto all’asse delle ascisse.
Se consideriamo un punto $A$ sulla retta $r-r$, il punto $A^{\prime}$ rappresenta la sua proiezione sul piano orizzontale $\pi ;$ indicando poi con $O$ il punto di intersezione tra la retta e il piano, si viene a formare il triangolo rettangolo $O A A^{\prime}$ (retto in $A^{\prime}$ ). Esprimendo la definizione di tangente nell’ambito di tale triangolo, e utilizzando le notazioni rappresentate in figura , potremo riscrivere l’espressione precedente nel seguente modo:
$$
p=\frac{h}{d}
$$
La pendenza di una retta, essendo definita dalla tangente di un angolo, è un numero puro; questo viene assunto positivo quando si considera il verso in salita della retta $r-r$, negativo quando si considera il verso in discesa.
Una retta orizzontale ha pendenza nulla perché tg $0^{\mathrm{c}}=0$; una retta inclinata di $50^{\mathrm{c}}$
di una retta prossima alla verticale è infinitamente grande, perché tg $100^{\mathrm{c}}=\infty$.
Nella pratica vengono considerate rette poco inclinate rispetto all’orizzontale, le cui pendenze risultano perciò inferiori all’unità . Pertanto, nel linguaggio pratico, si usa esprimere la pendenza in «per cento», così che, per esempio, una pendenza $p=0,0558$ diventa $p=5,58 \%$.
Formule per calcolare la pendenza di una retta
In base alle informazioni che si hanno a disposizione esistono varie formule che permettono di trovare la pendenza di una retta. Analizziamo di seguito le varie formule:
Pendenza di una retta in forma esplicita
Se la retta è data in forma esplicita ha equazione della forma
$y=m x+q$
ed il coefficiente della $x$ è proprio la pendenza della retta.
Pendenza di una retta in forma implicita
L’equazione di una retta in forma implicita è
$a x+b y+c=0$, con $b \neq 0$
La pendenza in questo caso è l’opposto del rapporto tra il coefficiente della $x$ ed il coefficiente della y, ossia
$$
m=-\frac{a}{b}, \text { con } b \neq 0
$$
Pendenza di una retta note le coordinate di due punti
Se si conoscono le coordinate cartesiane di due punti P e Q appartenenti alla retta
$P\left(x_{P}, y_{P}\right)$ e $Q\left(x_{Q}, y_{Q}\right)$, con $x_{P} \neq y_{Q}$
allora la pendenza della retta si ottiene dal rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei due punti:
$$
m=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}, \text { con } x_{Q} \neq x_{P}
$$