Definizione di Equazione Lineare
Un’equazione algebrica di primo grado si presenta nella forma normale:
$$
a x+b=0
$$
Proprietà
Date due espressioni algebriche $A(x)$ e $B(x)$, nella variabile $x$, l’eguaglianza
$$
A(x)=B(x)
$$
scritta allo scopo di determinare, se esistono, valori razionali per i quali $A(x)$ e $B(x)$ assumono lo stesso valore, si chiama equazione algebrica nell’incognita $x$.
Membri
Le due espressioni $A(x)$ e $B(x)$ si chiamano membri dell’equazione.
Identità
Ogni equazione che ammette come soluzione un qualsiasi numero razionale si dice una identità.
Equazione Intera
Un’equazione algebrica, nell’incognita $x$, di dice intera, quando i suoi membri sono polinomi nella variabile $x$.
Soluzione
Quando esiste, la soluzione dell’equazione è:
$$
x=-\frac{b}{a}, a \neq 0
$$
Condizioni di Esistenza
- Se $a \neq 0$ l’equazione si dice determinata (ammette una e una sola soluzione)
- Se $a=0$ e $b \neq 0$ l’equazione si dice impossibile o assurda (non ammette alcuna soluzione)
- Se $a=0$ e b=0 l’equazione si dice indeterminata (ammette qualsiasi soluzione, ovvero infinite soluzioni).
Principio di Addizione
Se ai due membri di una equazione si aggiunge o si toglie uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita $x$, che si possa calcolare per ogni valore di $x$, si ottiene una equazione equivalente alla data.
Principio del Trasporto
Se in un’equazione si trasporta un termine da un membro all’altro, purché lo si cambi di segno, si ottiene una equazione equivalente alla data.
Principio di Moltiplicazione o Divisione
Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica contenente l’incognita (che si possa calcolare per ogni valore dell’incognita e che non si annulli mai), si ottiene una equazione equivalente alla data.
Esempi svolti
Esempio 1
Risolviamo la seguente equazione:
$$
11 x+2=8 x+8
$$
Svolgimento
Scriviamo sulla sinistra i membri con I ‘incognita e a destra i membri senza incognita, stando attenti a cambiare il segno. Svolgendo tutti i calcoli otteniamo:
$$
11 x-8 x=8-2
$$
$$
3 x=6
$$
$$
x=\frac{6}{3}=2
$$
Esempio 2
Risolviamo la seguente equazione:
$$
\frac{2 x-1}{5}+5=x
$$
Svolgimento
Essendo un’equazione contenente una frazione, occorre trasformarla in un’equazione intera. Troviamo il minimo comune multiplo tra i due membri, che risulta essere 5 e svolgiamo i calcoli:
$$
\frac{2 x-1+25}{5}=\frac{5 x}{5}
$$
Sommiamo i termini simili:
$$
2 x+24=5 x
$$
Trasportiamo i valori con l’incognita a sinistra e i valori senza incognita a destra e otteniamo:
$$
2 x-5 x=-24
$$
Svolgendo i calcoli abbiamo:
$$
-3 x=-24
$$
Moltiplichiamo ambo i membri per – 1 e così otteniamo:
$$
3 x=24
$$
Dividendo ambo i membri per 3 abbiamo che la soluzione della nostra equazione è:
$$
x=8
$$