L’equazione di una retta parallela a un asse
L’equazione di una retta parallela all’asse x è: y =k.
L’equazione di una retta parallela all’asse y è: x = h.
Le lettere h e k indicano un qualunque valore reale.
Al variare di k, otteniamo tutte rette parallele all’asse x. Per k=0 l’equazione è quella dell’asse x.
Al variare di h, otteniamo tutte rette parallele all’asse y. Per h=0 l’equazione è quella dell’asse y.
La forma esplicita y = mx + q
Consideriamo la retta r passante per l’origine e di equazione:
y=2x
Scegliamo su tale retta i due punti 0(0; 0) e A ( 1; 2).
Aumentando di 3 l’ordinata dei due punti, otteniamo i punti Q(0; 3) e B(1; 5).
Il quadrilatero QABQ è un parallelogramma, perché ha i lati opposti OQ
e AB congruenti e paralleli; quindi, la retta 5 passante per B e Q risulta parallela alla retta r.
Le coordinate dei punti Q e B soddisfano l’equazione:
y=2x+3
Se aumentiamo sempre di 3 l’ordinata di un qualsiasi altro punto di r, per esempio ( – 2; —-4), otteniamo il punto (-2; – 1) che appartiene alla retta s perché le sue coordinate soddisfano l’equazione y = 2x + 3.
In generale, data una retta passante per l’origine di equazione
y = mx ,
una retta a essa parallela passante per il punto (0; q) ha equazione
y = mx + q.
Viceversa, una retta qualsiasi del piano, che intersechi l’asse y nel punto di ordinata q, può essere associata a un’equazione del tipo y= mx + q.
Tale equazione viene chiamata equazione esplicita della retta.
- Forma esplicita y = mx+ q
Ogni retta del piano, purché non parallela all’asse y, è rappresentata da un’equazione del tipo
y = mx + q
Il coefficiente q si chiama termine noto oppure ordinata all’origine, per ché rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y. Il coefficiente m è detto, anche in questo caso, coefficiente angolare.
L’equazione della retta in forma implicita
L’equazione esplicita y= mx + q può rappresentare tutte le rette del piano, tranne l’asse y e le rette parallele a esso.
Infatti non esistono valori di m e di q che, sostituiti nell’equazione, ci forniscano equazioni del tipo x = 0 oppure x = k.
Un’equazione che rappresenti tutte le possibili rette del piano è della forma
ax + by + c = 0
dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli).
In questo caso, si dice che l’equazione della retta è in forma implicita, nel senso che nessuna tra le variabili x e y è scritta esplicitamente in funzione dell’altra.
- Equazione generale della retta
Ogni retta del piano è rappresentata da un’equazione lineare del tipo
ax + by + c = 0
dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli).
Dalla forma implicita alla forma esplicita
È possibile trasformare un’equazione scritta in forma implicita nella sua equivalente scritta in forma esplicita ricavando y (purché sia 
) :
$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} $
Osserviamo che il coefficiente angolare è $-\frac{a}{b} $ e il termine noto è $-\frac{c}{b} $ .
ESEMPIO
Scriviamo in forma esplicita l’equazione 6x – 2y + 1 = 0.
Ricaviamo y:
– 2y = – 6x – 1
2y = 6x + 1
y=3x+$\frac{1}{2} $
Il coefficiente angolare è 3, il termine noto $\frac{1}{2} $ .