Mandiamo da un punto P la perpendicolare a una retta r. Chiamiamo H
il punto di intersezione fra la retta stessa e la perpendicolare. La misura
del segmento di perpendicolare PH è la distanza del punto P dalla retta r.
ESEMPIO
Dato il punto P(2; 3), calcoliamo la sua distanza PH dalla retta di equazione 4x + 3y – 5 = 0 . Tracciamo da P le parallele agli assi fino a incontrare la retta data nei punti A e B. Individuiamo così il triangolo rettangolo APB, di cui PH è l’altezza relativa all’ipotenusa. Il punto A ha la stessa ordinata di P. Sostituendola nell’equazione della retta, possiamo determinare la sua ascissa:
$4x + 3(3) -5 = 0$, da cui $x = – 1$.
In modo analogo, poiché l’ascissa di B è uguale a quella di P, si può ricavare
l’ordinata di B, che è -1. Otteniamo quindi: A ( -1; 3), B(2; – 1).
Il doppio dell’area di APB si può ottenere moltiplicando le misure dei due
cateti AP e PB. Se dividiamo poi per la misura dell’ipotenusa AB, otteniamo
l’altezza PH relativa all’ipotenusa, ossia la misura cercata:
$${PH}=\frac{\overline{PA}\cdot \overline{PB} }{\overline{AB} } =\frac{3\cdot 4}{5} =\frac{12}{5}$$.
In generale, si può dimostrare (con calcoli che omettiamo perché troppo laboriosi) che la distanza di un punto $P(X_0;Y_0)$ da una retta di equazione $ax+by+c=0$ è data dalla formula:
$$d=\frac{\mid ax_0+by_0+c \mid }{\sqrt{a^2+b^2} } $$
ESEMPIO
La distanza del punto P (2; 3) dalla retta di equazione $4x + 3y -5 = 0$
risulta:
$$d=\frac{\mid 4\cdot2+3\cdot3-5 \mid }{\sqrt{4^2+3^2} }=\frac{\mid 8+9-5 \mid }{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}$$
