Consideriamo la retta di equazione y= 3x + 2 e tre suoi punti A(1; 5), B(2; 8) e C(3; 11). Calcoliamo il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei punti A e B:
$\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{8-5}{2-1} =3$
Eseguiamo poi lo stesso calcolo per B e C:
$\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} =\frac{11-8}{3-2} =3$
Osserviamo che in ambedue i casi il rapporto calcolato è uguale al coefficiente angolare della retta, che è 3.
Avremmo ottenuto lo stesso risultato scegliendo una qualsiasi altra coppia di punti appartenenti alla retta. Interpretiamo questo risultato dicendo che il coefficiente angolare dà informazioni sulla «pendenza» della retta.
Per andare dal punto A(l; 5) a B(2; 8) e da B a C(3; 11) possiamo spostarci prima verso destra di 1 unità, poi verso l’alto di 3 unità. È come se salissimo una scala con gradini profondi 1 e alti 3, cioè alti quanto il coefficiente angolare.
ESEMPIO
Consideriamo la retta di equazione y=- 2x + 3 e i suoi due punti A ( – 2; 7) e B (l; 1). Osserviamo che anche in questo caso il coeffi ciente angolare è dato dal rapporto $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} $ :
$\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{1-7}{1-(-2)} =-2$
In generale, dati due punti distinti 
e 
appartenenti alla retta di equazione y= mx + q, ricaviamo la formula che esprime il coefficiente angolare m in funzione delle coordinate dei due punti.
Poiché A è un punto della retta, le sue coordinate soddisfano l’equazione, cioè:$ y_A= mx_A + q $ .
Poiché B è un punto della retta, anche le sue coordinate soddisfano l’equazione, cioè: $y_B = mx_B + q $ .
Se sono vere le due uguaglianze precedenti, otteniamo una nuova uguaglianza vera se sottraiamo membro a membro, cioè uguagliamo la differenza fra il primo membro della prima e il primo membro della seconda alla differenza fra il secondo membro della prima e il secondo membro della seconda:
$y_A-y_B = (mx_A + q)- (mx_B + q)$
$y_A-y_B=mx_A – mx_B$
$y_A-y_B = m(x_A-x_B )$
Ricaviamo m:
$m=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$
ovvero, cambiando segno al numeratore e al denominatore:
$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
- Coefficiente angolare e coordinate di due punti
Il coefficiente angolare di una retta di equazione y= mx + q è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque distinti della retta.
Casi particolari
- Se due punti A e B hanno la stessa ordinata, si ha $y_B-y_A=0$ e $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=0 $ quindi, il coefficiente angolare di una retta parallela all’asse x è m=0.
- Se i punti A e B hanno la stessa ascissa, si ha $x_B – x_A = 0$ , e la frazione $ \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} $ perde di significato, quindi il coefficiente angolare di una retta parallela all’asse y non esiste.