[Risolto] Somma e prodotto delle radici: applicazioni

SUI QUATTRO PASSI SUGGERITI ho da dire qualcosa.
1) Il passo uno è superfluo in quanto riguarda una proprietà non richiesta dal testo né tanto meno necessaria allo svolgimento dei passi successivi.
2) Nel passo due la consegna "Riconosci" sarebbe stata più utile di "Esprimi".
3) Nei passi tre e quattro sarebbe stata più utile la consegna "Esprimi la somma dei {reciproci | quadrati} delle radici in funzione di (s, p).".
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Ogni singolo esercizio sul come risolvere le equazioni parametriche di secondo grado si dovrebbe vedere all'interno di un quadro generale, cioè di quegli appunti riassuntivi che l'alunno diligente dovrebbe scrivere (secondo le sue proprie associazioni mentali e non secondo quelle del docente o, peggio, del libro di testo) subito dopo aver studiato la teoria di un certo argomento quando le idee sono ancora fresche e prima di affrontare il primo degli esercizi.
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APPUNTI RIASSUNTIVI
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1) Qualsiasi dis/equazione di secondo grado si può porre nella forma
* f(x) = a*T(x) <dis/eguaglianza> 0
dove
* a != 0
* T(x) = x^2 - s*x + p
* <dis/eguaglianza> è un operatore fra {<, <=, =, !=, >= , >}
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2) In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri X = (s ± √Δ)/2, cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
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Se l'operatore relazionale è di eguaglianza gli zeri del trinomio si chiamano radici dell'equazione.
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Se il discriminante Δ è non nullo gli zeri X1 e X2 sono distinti:
* complessi coniugati se Δ < 0
* reali se Δ > 0
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Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
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3) Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sugli zeri si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in una o due equazioni in k.
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NEL CASO IN ESAME (x^2 + 10*x - k = 0)
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* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
ha
* s = - 10
* p = k
* Δ = s^2 − 4*p = (- 10)^2 − 4*k = 4*(25 - k)
* √Δ = 2*√(25 - k)
* X1 = (- 5 - √(25 - k))
* X2 = (- 5 + √(25 - k))
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a. Somma dei reciproci delle radici uguali a 5;
"Esprimi la somma dei reciproci delle radici in funzione di (s, p)."
* 1/X1 = 1/((s - √Δ)/2) = 2*(s + √Δ)/(s^2 - Δ)
* 1/X2 = 1/((s + √Δ)/2) = 2*(s - √Δ)/(s^2 - Δ)
* 1/X1 + 1/X2 = 2*(s + √Δ)/(s^2 - Δ) + 2*(s - √Δ)/(s^2 - (s^2 − 4*p)) =
= 2*(s + √Δ + s - √Δ)/(4*p) =
= 4*s/(4*p) =
= s/p =
= - 10/k = 5 ≡ k = - 2
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b. Somma dei quadrati delle radici uguali a 120;
"Esprimi la somma dei quadrati delle radici in funzione di (s, p)."
* (X1)^2 = ((s - √Δ)/2)^2 = (s^2 - 2*s*√Δ + Δ)/4
* (X2)^2 = ((s + √Δ)/2)^2 = (s^2 + 2*s*√Δ + Δ)/4
* (X1)^2 + (X2)^2 = (s^2 - 2*s*√Δ + Δ)/4 + (s^2 + 2*s*√Δ + Δ)/4 =
= (s^2 + Δ)/2 =
= (s^2 + s^2 − 4*p)/2 =
= s^2 − 2*p =
= 100 − 2*k = 120 ≡ k = - 10