Matematica

l'equazione di una circonferenza di centro $C(a,b)$ e raggio $R$ è la seguente:

$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2=0$

basta che tu confronti l'espressione generica con quella che hai nell'esercizio e ricavi di conseguenza $a,b$ ed $R$

una volta che hai centro e raggio puoi disegnare facilmente la circonferenza. Poi disegni la retta (è banalissima) e determini graficamente i punti di intersezione.

Per calcolarli devi mettere a sistema l'equazione della circonferenza e quella della retta.

1) Determinare centro e raggio della circonferenza
x^2 + y^2 + 12·x + 4·y - 81 = 0
Determinarne, se esistono, le intersezioni con la retta
9·x + 6·y = 0
Sul piano Oxy tracciare il grafico della situazione.
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2) Scrivere l'equazione della circonferenza di centro C(1, - 3) che passa per il punto P(2, 3/2).
Sul piano Oxy tracciare il grafico della situazione.
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3) Determinare l'equazione della circonferenza con estremi di un diametro i punti A(- 2, 4) e B(3, 2).
Sul piano Oxy tracciare il grafico della situazione.

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1)

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2)

C(1,-3); P(2,3/2)

r = CP = √((2 - 1)^2 + (3/2 + 3)^2)    ------> r = √85/2

Quindi:

(x - α)^2 + (y - β)^2 = r^2------->   (x - 1)^2 + (y - 3/2)^2 = (√85/2)^2

x^2 + y^2 - 2·x - 3·y - 18 = 0

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3)

A(-2,4) ; B(3,2)

Cara @Antonella2234
capisco bene che, in quanto nuovo membro (a proposito, benvenuta!), tu debba un pochino orientarti prima d'intraprendere la retta via. Tuttavia, prima d'iscriverti, un'occhiatina a come vanno le cose non l'avevi data? Non è cortese nei confronti di chi ti risponde pubblicare una foto così brutta e poco leggibile (di sguincio, sfocata, grigiastra per la malilluminazione, di dimensioni infelici) e per giunta foto di un manoscritto con brutta scrittura e impaginazione pure peggio. Oltre tutto, la pubblichi su un sito il cui
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
prescrive LA TRASCRIZIONE del testo!
Tanto per mostrarti come fare per le prossime volte, trascrivo io il manoscritto.
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Alessandro Stefanicchio 21/12/2021
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1) Determinare centro e raggio della circonferenza
x^2 + y^2 + 12*x + 4*y - 81 = 0
Determinarne, se esistono, le intersezioni con la retta
9*x + 6*y = 0
Sul piano Oxy tracciare il grafico della situazione.
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2) Scrivere l'equazione della circonferenza di centro C(1, - 3) che passa per il punto P(2, 3/2).
Sul piano Oxy tracciare il grafico della situazione.
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3) Determinare l'equazione della circonferenza con estremi di un diametro i punti A(- 2, 4) e B(3, 2).
Sul piano Oxy tracciare il grafico della situazione.
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Le varianti che ho introdotto nel ricopiare (oltre a riformulare un paio di frasi) sono state soprattutto d'impaginazione: ogni formula è bene vederla su una riga a se stante e con "sintassi da tastiera", non da manoscritto; così pure su una riga a parte le frasi finali che costituiscono una seconda e/o terza consegna. Inoltre (ma è più una mia preferenza che non un'esigenza di leggibilità) io cerco di evitare le righe bianche (due accapo consecutivi) riempiendo lo stacco fra paragrafi con un qualche segno grafico (un po' di trattini, di parentesi angolari, ...) ben visibile.
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FINE DEL PREDICOZZO DI BENVENUTO
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CIRCONFERENZE
La circonferenza Γ è l'insieme di tutti e soli i punti P(x, y) del piano che hanno, da un punto assegnato C(a, b) detto centro, una distanza assegnata, r > 0, detta raggio. Esprimendo il quadrato di tale distanza, q = |PC|^2, come relazione pitagorica fra il raggio (ipotenusa) e le differenze fra coordinate omologhe (cateti) si ottiene l'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
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L'esercizio #2 si risolve semplicemente applicando la definizione dopo averla usata per calcolare q = |PC|^2
* (2 - 1)^2 + (3/2 - (- 3))^2 = 85/4 = q = r^2
* Γ ≡ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 85/4
Il grafico comprende Γ e la retta PC.
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L'esercizio #3 è una variante del #2: prima si considera il segmento AB determinandone il punto medio C(1/2, 3) e la lunghezza
* (3 - (- 2))^2 + (2 - 4)^2 = 29 = 4*q = (2*r)^2 ≡ q = 29/4
e poi si applica la definizione
* Γ ≡ (x - 1/2)^2 + (y - 3)^2 = 29/4
Il grafico comprende Γ e la retta AB.
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L'esercizio #1 è l'inverso del #2 che fornendo centro e raggio chiede l'equazione; mentre questo chiede centro e raggio fornendo l'equazione, ma la fornisce in forma normale canonica e non in forma normale standard; perciò la si deve trasformare prima di poter leggere i parametri geometrici richiesti. Occorre commutare, completare i quadrati, commutare, ridurre, sottrarre membro a membro il termine noto.
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 12*x + 4*y - 81 = 0 ≡
≡ x^2 + 12*x + y^2 + 4*y - 81 = 0 ≡
≡ (x + 6)^2 - 6^2 + (y + 2)^2 - 2^2 - 81 = 0 ≡
≡ (x + 6)^2 + (y + 2)^2 - 6^2 - 2^2 - 81 = 0 ≡
≡ (x + 6)^2 + (y + 2)^2 - 121 = 0 ≡
≡ (x + 6)^2 + (y + 2)^2 = 121 = 11^2
Dalla raggiunta forma normale standard si leggono i parametri
* centro C(- 6, - 2)
* raggio r = 11
Per le intersezioni con la secante s: se ne esplicita una variabile, la si sostituisce in Γ formando l'equazione risolvente la cui soluzione risolve il problema.
* s ≡ 9*x + 6*y = 0 ≡ 3*x + 2*y = 0 ≡ y = - (3/2)*x
* (x + 6)^2 + (- (3/2)*x + 2)^2 - 121 = 0 ≡
≡ (13/4)*x^2 + 6*x - 81 = 0 ≡
≡ x^2 + (24/13)*x - 324/13 = 0 ≡
≡ (x = - 6) oppure (x = 54/13) da cui
≡ (y = - (3/2)*(- 6) = 9) oppure (y = - (3/2)*54/13 = - 81/13)
quindi le intersezioni sono
* A(- 6, 9) oppure B(54/13, - 81/13)
Il grafico comprende Γ e la retta s ≡ AB.