[Risolto] PROBLEMA TRASFORMAZIONI

La simmetria centrale in oggetto é descritta da

x' = - 4 - x

y' = 6 - y

Si può agevolmente provare che l'unico punto unito é C

 

x = - 4 -x =>   2x = - 4 => x = -2

y = 6 - y =>  2y = 6 => y = 3

rette unite

 

Ax + By + C = 0 deve rimanere uguale se sostituisci x con -4 - x e y con 6 - y

A(-4 - x) + B(6 - y) + C = 0

-Ax - By - 4A + 6B + C = 0

 

Ax + By + 4A - 6B - C = 0

 

Per confronto     4A - 6B - C = C

2C = 4A - 6B

C = 2A - 3B

 

Sostituendo   Ax + By + 2A - 3B = 0

 

A(x + 2) + B(y - 3) = 0

e ritroviamo il fascio di rette proprio di centro C.

 

 

1) punto C(- 2, 3)
2) retta x = - 2
3) rette y = 3 + k*(x + 2), per ogni pendenza k reale.
SENZA NEMMENO UN CALCOLO
con la sola definizione di simmetria centrale!
------------------------------
AGGIUNTA (dopo aver visto il Commento «Grazie mille per la risposta, ma non riesco a capire come ricavare le rette»)
Due punti (A, B) si corrispondono nella simmetria di centro C se e solo se questo è punto medio del segmento AB.
Il segmento degenere A ≡ B ≡ C definisce l'unico punto unito.
I segmenti di qualunque lunghezza positiva (anche tendente all'infinito) definiscono le rette unite tutte sostenute dal centro C.
Perciò ho scritto tutte e sole le rette per C(- 2, 3).

Ti allego due tabelle riferite ai punti ed alle rette unite nelle varie trasformazioni geometriche.

punti e rette unite nelle varie trasformazioni geometriche.docx

 

Detto in parole povere una simmetria centrale, nel caso in questione di centro C(-2,3) è una trasformazione che associa ad ogni altro punto P del piano cartesiano, uno ed un solo punto P’ simmetrico rispetto a P. In definitiva C è il centro del segmento congiungente P con P’.

Nella trasformazione specificatamente indicata: "simmetria centrale rispetto a C" abbiamo come rette unite tutte le rette passanti per il centro di simmetria; come punti uniti solo il centro di simmetria, in questo caso C(-2,3).

Questo perché nella simmetria data, ogni punto P ha il suo simmetrico sulla retta stessa e quindi tale retta è unita nella trasformazione centrale. Infinite sono le rette passanti per C.

Il punto unito è uno solo perché è l'unico del piano comune a tutte queste rette.