[Risolto] Induzione matematica 2

@Anto007 Purtroppo hai dei grossi problemi nello scrivere bene le formule e quindi anche dirti se hai fatto bene o male risulta particolarmente difficoltoso, perchè non si capisce se hai fatto dei veri errori di calcolo o soltanto hai scritto male le formule. Sarebbe bene che tu postassi una foto dei tuoi conti fatti a mano. 

Comunque ti risolvo la cosa come farei io. Deve essere dimostrato che:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$

la si dimostra per $n=1$:

$1^3=(\frac{1*(1+1)}{2})^2=(\frac{2}{2})^2$

questa è chiaramente un'identità, quindi per $n=1$ la formula è vera. La supponiamo quindi vera per un generico $n$ e la dobbiamo dimostrare per $n+1$:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2$

Quindi a sinistra dell'uguale scriviamo:

$(\frac{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3$ che possiamo scrivere come

$\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$

Mettendo a fattore comune:

$\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}$

raccogliendo $(n+1)^2$

$\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}$

$\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}$

$\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

$(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2$

CVD

COME T'HA FATTO NOTARE SEBASTIANO, SCRIVI MALE; E, AGGIUNGO IO, SCRIVI TROPPO.
Se hai "difficoltà a scrivere ste benedette formule!!" non usare LaTeχ: il Ch.mo Prof. Knuth inventò e costruì LaTeχ per scrivere documentazione e, in particolare, un ponderoso tomo universitario di cui l'editore gli mandava da correggere bozze insoddisfacenti al suo delicato senso della buona composizione. Pubblicare una domanda su SoSmatematica non è documentazione, è solo una domandina! SoSmatematica fornisce LaTeχ a chi lo sa usare (non è difficile, ma richiede un po' d'attenzione) però non obbliga nessuno a usarlo. Tu prima cèrcati un tutorial e poi lo userai bene; nel frattempo ti suggerisco di fare come me: io scrivo nel MIO editor che conosco bene e alla fine in quello di SoSmatematica faccio solo Copia/Incolla.
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Il mio rilievo che SCRIVI TROPPO ha due componenti; anzitutto il fatto che pubblichi per tre volte
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/16354/
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/16355/
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/16362/
lo stesso quesito di cui modifichi la sola "ortografia", ma non i contenuti per rendere più comprensibili i tuoi passaggi (e ciò vïola il Regolamento: se lo vuoi leggere devi chiederlo @sosmatematica ); poi la abnorme quantità di riscritture.
Va bene mostrare i passaggi, ma ad esempio, per il caso base, cito da
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/16354/
«P(1) 1^3={n(n+1)=2}^2
1^3={1(1+1)/2}^2
1^3={1(2)/2}^2
1^3=1^2
1=1 vera»
non ti sembra un po' troppo?
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Io avrei scritto come segue (spero ti serva come esempio di presentazione, anche con un po' di caratteri in più: 651 battute contro le tue 470).
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Dimostrare per induzione il Teorema di Nicomaco (© @Sebastiano) per {k, n} in N
* P(n) ≡ Σ [k = 1, n] k^3 = {n*(n + 1)/2}^2
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CASO BASE: n = 1
* P(1) ≡ Σ [k = 1, 1] k^3 = {1*(1 + 1)/2}^2 = 1 VERIFICATO [NB: non "dimostrato"!]
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IPOTESI INDUTTIVA
* P(n) ≡ Σ [k = 1, n] k^3 = (n*(n + 1)/2)^2 VERO
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TESI: P(n + 1) VERO
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DIMOSTRAZIONE
A) primo membro
* Σ [k = 1, n + 1] k^3 = Σ [k = 1, n] k^3 + (n + 1)^3 =
= (n*(n + 1)/2)^2 + (n + 1)^3 =
= ((n + 1)*(n + 2))^2/4
B) secondo membro
* ((n + 1)*((n + 1) + 1)/2)^2 =
= ((n + 1)*(n + 2))^2/4
C) identità?
toh, pare proprio di sì!
QED